Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un nouveau test a été comparé à la méthode de référence dans une étude (voir le tableau 2 × 2). Trouvez le rapport de vraisemblance positif LR+. Arrondissez à deux décimales.
a = 268b = 151c = 132d = 1359
LR+ =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 79 % et de spécificité 86 %. La prévalence de la maladie est de 27 %. Combien de résultats vrais positifs TP attend-on ?
N = 10 000p = 27%Se = 79%Sp = 86%
TP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 38, 57, 35, 30, 35, 44.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 10. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 76 ?
μ = 70σ = 10x = 76
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne, fondé sur 64 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 8,1. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 99 % obtenu avec les mêmes données ?
95%n₁ = 64E₁ = 8,199%
E₂ =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 12 parcelles, rendement moyen 50 kg, écart-type 3 kg. Groupe de parcelles 2 : 19 parcelles, moyenne 59 kg, écart-type 2 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 67,67 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 67,67s = 20n = 36
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 40 patients sur 100 sous traitement A guérissent, et 72 sur 150 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 72n₂ = 150
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR+ = 6,7
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Sensibilité et spécificité
Se = 268/400 = 0,67
Sp = 1359/1510 = 0,9
Rapport de vraisemblance positif
LR+ = 0,67/(1 − 0,9) = 6,7
Réponse
LR+ = 6,7
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: TP = 2133
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,27 = 2700
10 000 − 2700 = 7300
Vrais positifs
TP = 2700·0,79 = 2133
Réponse
TP = 2133
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 9,579
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,6
Table de la loi normale
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Réponse
P = 0,7257
5.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 10,65
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/64) = 1,314
Nouvelle marge
E₂ = 8,1·1,314 = 10,65
Réponse
E₂ = 10,65
6.Intervalles de confiance
Réponse: E = 1,521 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (11·3² + 18·2²)/29 = 5,897
sp = 2,428
Marge d'erreur
E = 1,699·2,428·√(1/12 + 1/19) = 1,521
Réponse
E = 1,521 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,199
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Statistique de test
t = (67,67 − 75)/3,333 = −2,199
Réponse
t = −2,199
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,246
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 40/100 = 0,4
p̂₂ = 72/150 = 0,48
p̂ = 112/250 = 0,448
Erreur type sous H₀
SE = √(0,448·0,552·(1/100 + 1/150)) = 0,0642
Statistique de test
z = (0,4 − 0,48)/0,0642 = −1,246
Réponse
z = −1,246
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).