Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 75 % et une spécificité de 87 %. Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
Se = 75%Sp = 87%
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 20 % pour une maladie. Un test de sensibilité 98 % et de spécificité 61 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 20%Se = 98%Sp = 61%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 48, 38, 27, 43, 10, 27, 13.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 54.
μ = 60σ = 5x = 54
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 15 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de −2 et un écart-type de 4,6. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la différence moyenne.
n = 15d̄ = −2sd = 4,699%t(14) = 2,977
borne inférieure = mmHg
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 6 parcelles, rendement moyen 88 kg, écart-type 4 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 88,5 kg, écart-type 8,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 80 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 10. Un échantillon aléatoire de 100 observations a une moyenne de 78,46. Testez H₀ : μ = 80 contre H₁ : μ < 80. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 80σ = 10n = 100x̄ = 78,46H₁: μ < μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ < 500 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 9. En réalité, la moyenne vaut 496.7. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 500μ = 496,7σ = 9n = 36α = 0,01
1 − β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,29
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,75)/0,87 = 0,2874 ≈ 0,29
Réponse
LR− = 0,29
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 38,6 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,98/(1 − 0,61) = 2,513
Cote pré-test
0,2/(1 − 0,2) = 0,25
Cote post-test
0,25·2,513 = 0,6282
Probabilité post-test
p′ = 0,6282/(1 + 0,6282) = 0,3858 ≈ 38,6%
Réponse
p′ = 38,6%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 14,5
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (54 − 60)/5 = −1,2
Réponse
z = −1,2
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −5,536 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 14, t = 2,977
Marge d'erreur
E = 2,977·4,6/√15 = 3,536
Intervalle
−2 ± 3,536 → [−5,536, 1,536]
Réponse
borne inférieure = −5,536 mmHg
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 8,045 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (5·4² + 5·8,5²)/10 = 44,13
sp = 6,643
Marge d'erreur
E = 2,228·6,643·√(1/6 + 1/6) = 8,545
Intervalle
−0,5 ± 8,545 → [−9,045, 8,045]
Réponse
borne supérieure = 8,045 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,06178
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (78,46 − 80)/1 = −1,54
Aire de la queue
Φ(1,54) = 0,9382
1 − Φ(1,54) = 0,0618
Valeur p
p = 0,06178
Réponse
p = 0,06178
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 44,99 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).