Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 260 patients atteints d’une maladie (cas) et 610 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 167b = 256c = 93d = 354
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un traitement réduit le risque d’un événement de 43 % en termes relatifs (RRR = 43 %). Dans un groupe de patients, le risque sans traitement (CER) est de 36 % sur cinq ans. Trouvez le nombre de patients à traiter NNT pendant cinq ans pour éviter un événement. Arrondissez au nombre entier de patients supérieur.
RRR = 43%CER = 36%
NNT =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 31, 48, 51, 60, 56.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 75. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 425 ?
μ = 500σ = 75x = 425
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 40 téléphones, moyenne 112,5 h, écart-type connu 8 h. Modèle 2 : 40 téléphones, moyenne 102,5 h, écart-type connu 15 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
Une étude pilote suggère qu’environ 0,4 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,02 ?
p ≈ 0,4E = 0,0299%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 6 étudiants, note moyenne 72, écart-type 2. Groupe 2 : 6 étudiants, note moyenne 68,5, écart-type 4. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 6x̄₁ = 72s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 68,5s₂ = 4
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 96,3. L'écart-type de la population est 15. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 96,3σ = 15n = 3699%
U =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 2,48
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 167/93 = 1,796
témoins: 256/354 = 0,7232
Odds ratio
OR = (167·354)/(256·93) = 2,483 ≈ 2,48
Réponse
OR = 2,48
OR supérieur à 1 : l’exposition est plus fréquente chez les cas.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NNT = 7
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Réduction absolue du risque
ARR = 0,36·0,43 = 0,1548
Nombre de patients à traiter (NNT)
NNT = 1/0,1548 = 6,46 → 7
Réponse
NNT = 7
Le même effet relatif donne un NNT plus petit lorsque le risque de base est plus élevé.
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 11,17
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1
Table de la loi normale
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 6,924 h
Intervalle pour une différence : estimation ± valeur critique × erreur type. Pour deux moyennes indépendantes avec σ connus : SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) et z. Avec des variances inconnues égales : s_p commun et t à n₁ + n₂ − 2 degrés de liberté. Pour des données appariées, travaillez sur les différences : d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 112,5 − 102,5 = 10
Erreur type
SE = √(8²/40 + 15²/40) = 2,688
Marge d'erreur
E = 2,576·2,688 = 6,924
Réponse
E = 6,924 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 3982
Intervalle de confiance d’une proportion : p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), où p̂ = x/n. Pour obtenir une marge E, il faut n ≥ z²·p(1 − p)/E², arrondi à l’entier supérieur ; sans estimation préalable, prenez p = 0,5, qui donne le plus grand n.
Résoudre pour n
n = 2,576²·0,4·0,6/0,02² = 3981
Arrondir vers le haut
n = 3982
Réponse
n = 3982
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,917
Test d’hypothèse : la statistique de test = (estimation − valeur sous H₀)/(erreur type sous H₀). La valeur p est la probabilité, en supposant H₀ vraie, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée : l’aire d’une queue pour un H₁ unilatéral, deux fois l’aire de la queue pour un H₁ bilatéral. Rejetez H₀ quand p ≤ α.
Variance commune
sp² = (5·2² + 5·4²)/10 = 10
sp = 3,162
Erreur type
SE = 3,162·√(1/6 + 1/6) = 1,826
Statistique de test
t = (72 − 68,5)/1,826 = 1,917
Réponse
t = 1,917
Avec df = 10, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,228 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 102,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).