Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une cohorte, des groupes de personnes ont été suivis pendant des durées différentes (voir le tableau : nombre de personnes et années de suivi de chaque groupe). Pendant le suivi, 36 nouveaux cas sont survenus. Trouvez le taux d’incidence IR pour 1000 personnes-années. Arrondissez à une décimale.
140 × 1,5 ans280 × 2 ans36 nouveaux cas
IR = pour 1000 personnes-années
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 88 % et de spécificité 86 %. La prévalence de la maladie est de 7 %. Combien de personnes malades le test manque-t-il (faux négatifs, FN) ?
N = 10 000p = 7%Se = 88%Sp = 86%
FN =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 57, 18, 23, 39, 56, 47.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 80.
μ = 70σ = 10x = 80
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 66 et un écart-type s = 13. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 9x̄ = 66s = 1390%t(8) = 1,86
borne inférieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Une étude pilote suggère qu’environ 0,3 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,05 ?
p ≈ 0,3E = 0,0599%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 120 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 20. Un échantillon aléatoire de 64 observations a une moyenne de 122,8. Testez H₀ : μ = 120 contre H₁ : μ > 120. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 120σ = 20n = 64x̄ = 122,8H₁: μ > μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2 ? L'écart-type est 20. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 20E = 299%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IR = 46,8 pour 1000 personnes-années
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Personnes-années
PY = 140·1,5 + 280·2 = 770
Taux d’incidence
IR = 36/770·1000 = 46,8 pour 1000 personnes-années
Réponse
IR = 46,8 pour 1000 personnes-années
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: FN = 84
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,07 = 700
10 000 − 700 = 9300
Faux négatifs
FN = 700·0,12 = 84
Réponse
FN = 84
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 16,54
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (80 − 70)/10 = 1
Réponse
z = 1
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 57,94
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Marge d'erreur
E = 1,86·13/√9 = 8,06
Intervalle
66 ± 8,06 → [57,94, 74,06]
Réponse
borne inférieure = 57,94
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 558
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 2,576²·0,3·0,7/0,05² = 557,4
Arrondir vers le haut
n = 558
Réponse
n = 558
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,1314
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5
z = (122,8 − 120)/2,5 = 1,12
Aire de la queue
Φ(1,12) = 0,8686
1 − Φ(1,12) = 0,1314
Valeur p
p = 0,1314
Réponse
p = 0,1314
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 664
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).