Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 150 patients ont reçu un nouveau traitement et 130 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté l’événement (un événement indésirable tel qu’un AVC). Trouvez le nombre de patients à traiter NNT pour éviter un événement. Arrondissez au nombre entier de patients supérieur.
traitement: 5/150témoin: 10/130
NNT =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 89 % et de spécificité 90 %. La prévalence de la maladie est de 10 %. Combien de résultats faux positifs FP attend-on ?
N = 10 000p = 10%Se = 89%Sp = 90%
FP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 28, 42, 28, 14, 56.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 30 ?
μ = 60σ = 20x = 30
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 16 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 7,7 et un écart-type de 5. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la différence moyenne.
n = 16d̄ = 7,7sd = 590%t(15) = 1,753
borne supérieure = mmHg
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 26. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?
σ = 26E = 2,595%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 53,94 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 53,94s = 15n = 64
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ < 500 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 18. En réalité, la moyenne vaut 494.9. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 500μ = 494,9σ = 18n = 36α = 0,01
1 − β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NNT = 23
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 5/150 = 0,03333
CER = 10/130 = 0,07692
Nombre de patients à traiter (NNT)
ARR = 0,07692 − 0,03333 = 0,04359
NNT = 1/0,04359 = 22,94 → 23
Réponse
NNT = 23
Traiter 23 patients évite environ un événement.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: FP = 900
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,1 = 1000
10 000 − 1000 = 9000
Faux positifs
FP = 9000·0,1 = 900
Réponse
FP = 900
Sur les 1790 positifs, seuls 890 ont la maladie (VPP 49,7 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,96
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,5
Table de la loi normale
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Réponse
P = 0,06681
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 9,891 mmHg
Intervalle pour une différence : estimation ± valeur critique × erreur type. Pour deux moyennes indépendantes avec σ connus : SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) et z. Avec des variances inconnues égales : s_p commun et t à n₁ + n₂ − 2 degrés de liberté. Pour des données appariées, travaillez sur les différences : d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 15, t = 1,753
Marge d'erreur
E = 1,753·5/√16 = 2,191
Intervalle
7,7 ± 2,191 → [5,509, 9,891]
Réponse
borne supérieure = 9,891 mmHg
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 416
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·26/2,5)² = 415,5
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 416
Réponse
n = 416
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,101
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Statistique de test
t = (53,94 − 50)/1,875 = 2,101
Réponse
t = 2,101
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 26,57 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).