Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un nouveau test a été comparé à la méthode de référence dans une étude (voir le tableau 2 × 2). Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
a = 247b = 108c = 43d = 382
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 91 % et de spécificité 90 %. La prévalence de la maladie est de 13 %. Combien de résultats positifs n₊ attend-on au total ?
N = 10 000p = 13%Se = 91%Sp = 90%
n₊ =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 35, 42, 52, 52, 57, 48, 48.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 74,8.
μ = 70σ = 12x = 74,8
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 15 éléments a une moyenne de 46,5 et un écart-type s = 6,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 15x̄ = 46,5s = 6,599%t(14) = 2,977
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 7 parcelles, rendement moyen 34,5 kg, écart-type 8 kg. Groupe de parcelles 2 : 5 parcelles, moyenne 29 kg, écart-type 1 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 50 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 10. Un échantillon aléatoire de 100 observations a une moyenne de 51,38. Testez H₀ : μ = 50 contre H₁ : μ > 50. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 50σ = 10n = 100x̄ = 51,38H₁: μ > μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 60 patients sur 120 sous traitement A guérissent, et 62 sur 150 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 62n₂ = 150
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,19
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Sensibilité et spécificité
Se = 247/290 = 0,8517
Sp = 382/490 = 0,7796
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,8517)/0,7796 = 0,1902 ≈ 0,19
Réponse
LR− = 0,19
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: n₊ = 2053
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,13 = 1300
10 000 − 1300 = 8700
Tous les résultats positifs
TP = 1300·0,91 = 1183
FP = 8700·0,1 = 870
n₊ = 1183 + 870 = 2053
Réponse
n₊ = 2053
Sur les 2053 positifs, seuls 1183 ont la maladie (VPP 57,6 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 7,274
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (74,8 − 70)/12 = 0,4
Réponse
z = 0,4
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 51,5
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Marge d'erreur
E = 2,977·6,5/√15 = 4,996
Intervalle
46,5 ± 4,996 → [41,5, 51,5]
Réponse
borne supérieure = 51,5
6.Intervalles de confiance
Réponse: E = 8,126 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (6·8² + 4·1²)/10 = 38,8
sp = 6,229
Marge d'erreur
E = 2,228·6,229·√(1/7 + 1/5) = 8,126
Réponse
E = 8,126 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,08379
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (51,38 − 50)/1 = 1,38
Aire de la queue
Φ(1,38) = 0,9162
1 − Φ(1,38) = 0,0838
Valeur p
p = 0,08379
Réponse
p = 0,08379
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 1,422
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 60/120 = 0,5
p̂₂ = 62/150 = 0,4133
p̂ = 122/270 = 0,4519
Erreur type sous H₀
SE = √(0,4519·0,5481·(1/120 + 1/150)) = 0,06095
Statistique de test
z = (0,5 − 0,4133)/0,06095 = 1,422
Réponse
z = 1,422
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).