Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une cohorte, des groupes de personnes ont été suivis pendant des durées différentes (voir le tableau : nombre de personnes et années de suivi de chaque groupe). Pendant le suivi, 47 nouveaux cas sont survenus. Trouvez le taux d’incidence IR pour 1000 personnes-années. Arrondissez à une décimale.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 92 % et une spécificité de 94 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 0,5 %. Trouvez la valeur prédictive négative NPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 92%Sp = 94%p = 0,5%
NPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 12, 54, 29, 25, 53.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 50.
μ = 60σ = 20x = 50
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 21 éléments a une moyenne de 56,5 et un écart-type s = 3. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 21x̄ = 56,5s = 399%t(20) = 2,845
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 11 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 3,8 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 10, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 3,247 et 2,5 % au-dessus de 20,483.
n = 11s = 3,8 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 12 étudiants, note moyenne 75,5, écart-type 10,5. Groupe 2 : 9 étudiants, note moyenne 78,7, écart-type 2. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 12x̄₁ = 75,5s₁ = 10,5n₂ = 9x̄₂ = 78,7s₂ = 2
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 25 mesures a une moyenne de 103,8. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 103,8σ = 10n = 2599%
U =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IR = 25,3 pour 1000 personnes-années
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Personnes-années
PY = 400·2,5 + 220·0,5 + 300·2,5 = 1860
Taux d’incidence
IR = 47/1860·1000 = 25,3 pour 1000 personnes-années
Réponse
IR = 25,3 pour 1000 personnes-années
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NPV = 100 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux négatifs (par personne)
Sp·(1 − p) = 0,94·0,995 = 0,9353
(1 − Se)·p = 0,08·0,005 = 0,0004
Valeur prédictive négative
NPV = 0,9353/(0,9353 + 0,0004) = 0,9996 ≈ 100%
Réponse
NPV = 100%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 18,37
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (50 − 60)/20 = −0,5
Réponse
z = −0,5
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 58,36
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Marge d'erreur
E = 2,845·3/√21 = 1,862
Intervalle
56,5 ± 1,862 → [54,64, 58,36]
Réponse
borne supérieure = 58,36
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 6,669 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 10·3,8² = 144,4
Bornes pour σ²
144,4/20,483 = 7,05
144,4/3,247 = 44,47
Borne pour σ
σ = √44,47 = 6,669 µm
Réponse
σ = 6,669 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [2,655, 6,669] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −0,8966
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (11·10,5² + 8·2²)/19 = 65,51
sp = 8,094
Erreur type
SE = 8,094·√(1/12 + 1/9) = 3,569
Statistique de test
t = (75,5 − 78,7)/3,569 = −0,8966
Réponse
t = −0,8966
Avec df = 19, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,093 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 109
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).