Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans une étude de cohorte, les personnes exposées ont apporté 6900 personnes-années avec 104 nouveaux cas, et les personnes non exposées 2200 personnes-années avec 13 nouveaux cas. Trouvez le rapport des taux d’incidence IRR (exposés par rapport aux non-exposés). Arrondissez à deux décimales.
exposés: 104/6900 PYnon exposés: 13/2200 PY
IRR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 15 % pour une maladie. Un test de sensibilité 83 % et de spécificité 94 % donne un résultat positive. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 15%Se = 83%Sp = 94%positive
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 21, 27, 53, 14, 47, 56.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 178.
μ = 170σ = 20x = 178
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 69 h, écart-type connu 10 h. Modèle 2 : 30 téléphones, moyenne 56 h, écart-type connu 19 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 27. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 27E = 0,590%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 250 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 30. Un échantillon aléatoire de 100 observations a une moyenne de 252,52. Testez H₀ : μ = 250 contre H₁ : μ > 250. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 250σ = 30n = 100x̄ = 252,52H₁: μ > μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 64 mesures a une moyenne de 500,6. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 500,6σ = 5n = 6495%
L =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: IRR = 2,55
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’incidence
exposés: 104/6900 = 15,07 pour 1000 personnes-années
non exposés: 13/2200 = 5,909 pour 1000 personnes-années
Rapport des taux
IRR = 15,07/5,909 = 2,551 ≈ 2,55
Réponse
IRR = 2,55
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 70,9 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR+ = 0,83/(1 − 0,94) = 13,83
Cote pré-test
0,15/(1 − 0,15) = 0,1765
Cote post-test
0,1765·13,83 = 2,441
Probabilité post-test
p′ = 2,441/(1 + 2,441) = 0,7094 ≈ 70,9%
Réponse
p′ = 70,9%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 17,88
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (178 − 170)/20 = 0,4
Réponse
z = 0,4
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 18,94 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 69 − 56 = 13
Erreur type
SE = √(10²/100 + 19²/30) = 3,61
Marge d'erreur
E = 1,645·3,61 = 5,939
Intervalle
13 ± 5,939 → [7,061, 18,94]
Réponse
borne supérieure = 18,94 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 7891
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·27/0,5)² = 7891
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 7891
Réponse
n = 7891
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,2005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 30/√100 = 3
z = (252,52 − 250)/3 = 0,84
Aire de la queue
Φ(0,84) = 0,7995
1 − Φ(0,84) = 0,2005
Valeur p
p = 0,2005
Réponse
p = 0,2005
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 499,4
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).