Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 170 patients atteints d’une maladie (cas) et 190 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 109b = 101c = 61d = 89
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 95 % et une spécificité de 86 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 3 %. Trouvez la valeur prédictive positive PPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 95%Sp = 86%p = 3%
PPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 38, 27, 29, 59, 21, 34.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 80.
μ = 100σ = 10x = 80
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 7 éléments a une moyenne de 27 et un écart-type s = 6,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 7x̄ = 27s = 6,595%t(6) = 2,447
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 7. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 7E = 199%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 76,7 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76,7s = 4n = 16
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 200 contre H₁ : μ > 200 est réalisé au seuil α = 0,05 avec un échantillon de 25 ; l’écart-type est connu et vaut 7,5. En réalité, la moyenne vaut 204,95. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 200μ = 204,95σ = 7,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 1,57
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 109/61 = 1,787
témoins: 101/89 = 1,135
Odds ratio
OR = (109·89)/(101·61) = 1,575 ≈ 1,57
Réponse
OR = 1,57
OR supérieur à 1 : l’exposition est plus fréquente chez les cas.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: PPV = 17,3 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux positifs (par personne)
Se·p = 0,95·0,03 = 0,0285
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,14·0,97 = 0,1358
Valeur prédictive positive
PPV = 0,0285/(0,0285 + 0,1358) = 0,1735 ≈ 17,3%
Réponse
PPV = 17,3%
Plus la prévalence est faible, plus la VPP du même test est basse.
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 13,28
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (80 − 100)/10 = −2
Réponse
z = −2
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 33,01
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 6, t = 2,447
Marge d'erreur
E = 2,447·6,5/√7 = 6,012
Intervalle
27 ± 6,012 → [20,99, 33,01]
Réponse
borne supérieure = 33,01
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 326
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·7/1)² = 325,2
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 326
Réponse
n = 326
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Statistique de test
t = (76,7 − 75)/1 = 1,7
Réponse
t = 1,7
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 95,1 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).