Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 92 % et une spécificité de 94 %. Trouvez le rapport de vraisemblance positif LR+. Arrondissez à deux décimales.
Se = 92%Sp = 94%
LR+ =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test de dépistage a une sensibilité de 75 % et une spécificité de 92 %. Il est utilisé dans une population où la prévalence est de 30 %. Trouvez la valeur prédictive positive PPV sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
Se = 75%Sp = 92%p = 30%
PPV = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 23, 35, 57, 18, 15, 47, 30.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 10. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 56 ?
μ = 50σ = 10x = 56
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 54 h, écart-type connu 9 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 59 h, écart-type connu 20 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 6 parcelles, rendement moyen 64 kg, écart-type 4,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 20 parcelles, moyenne 60,5 kg, écart-type 8,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 6 étudiants, note moyenne 120, écart-type 8,5. Groupe 2 : 10 étudiants, note moyenne 108,2, écart-type 12. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 6x̄₁ = 120s₁ = 8,5n₂ = 10x̄₂ = 108,2s₂ = 12
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 165 patients sur 300 sous traitement A guérissent, et 126 sur 200 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 165n₁ = 300x₂ = 126n₂ = 200
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR+ = 15,33
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance positif
LR+ = 0,92/(1 − 0,94) = 15,33
Réponse
LR+ = 15,33
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: PPV = 80,1 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Vrais et faux positifs (par personne)
Se·p = 0,75·0,3 = 0,225
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,08·0,7 = 0,056
Valeur prédictive positive
PPV = 0,225/(0,225 + 0,056) = 0,8007 ≈ 80,1%
Réponse
PPV = 80,1%
Plus la prévalence est faible, plus la VPP du même test est basse.
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 15,43
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,6
Table de la loi normale
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Réponse
P = 0,2743
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = −0,7014 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 54 − 59 = −5
Erreur type
SE = √(9²/100 + 20²/100) = 2,193
Marge d'erreur
E = 1,96·2,193 = 4,299
Intervalle
−5 ± 4,299 → [−9,299, −0,7014]
Réponse
borne supérieure = −0,7014 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 9,742 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (5·4,5² + 19·8,5²)/24 = 61,42
sp = 7,837
Marge d'erreur
E = 1,711·7,837·√(1/6 + 1/20) = 6,242
Intervalle
3,5 ± 6,242 → [−2,742, 9,742]
Réponse
borne supérieure = 9,742 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,1
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (5·8,5² + 9·12²)/14 = 118,4
sp = 10,88
Erreur type
SE = 10,88·√(1/6 + 1/10) = 5,618
Statistique de test
t = (120 − 108,2)/5,618 = 2,1
Réponse
t = 2,1
Avec df = 14, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,145 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,777
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 165/300 = 0,55
p̂₂ = 126/200 = 0,63
p̂ = 291/500 = 0,582
Erreur type sous H₀
SE = √(0,582·0,418·(1/300 + 1/200)) = 0,04503
Statistique de test
z = (0,55 − 0,63)/0,04503 = −1,777
Réponse
z = −1,777
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).