Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Une étude cas-témoins compare 260 patients atteints d’une maladie (cas) et 90 personnes qui n’en sont pas atteintes (témoins). Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont été exposés à un facteur de risque. Trouvez l’odds ratio OR de l’exposition. Arrondissez à deux décimales.
a = 15b = 12c = 245d = 78
OR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 72 % et de spécificité 85 %. La prévalence de la maladie est de 9 %. Combien de personnes malades le test manque-t-il (faux négatifs, FN) ?
N = 10 000p = 9%Se = 72%Sp = 85%
FN =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 13, 38, 52, 59, 27.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 75. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 410 ?
μ = 500σ = 75x = 410
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne, fondé sur 100 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 10,4. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 90 % fondé sur 900 observations ?
95%n₁ = 100E₁ = 10,490%n₂ = 900
E₂ =
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 24. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 24E = 0,595%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 203,9 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 203,9s = 15n = 64
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 3 ? L'écart-type est 10. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 10E = 399%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: OR = 0,4
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Cote d’exposition
cas: 15/245 = 0,06122
témoins: 12/78 = 0,1538
Odds ratio
OR = (15·78)/(12·245) = 0,398 ≈ 0,4
Réponse
OR = 0,4
OR inférieur à 1 : l’exposition est moins fréquente chez les cas, ce qui suggère un effet protecteur.
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: FN = 252
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,09 = 900
10 000 − 900 = 9100
Faux négatifs
FN = 900·0,28 = 252
Réponse
FN = 252
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 18,59
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Réponse
P = 0,1151
5.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 2,91
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/900) = 0,2798
Nouvelle marge
E₂ = 10,4·0,2798 = 2,91
Réponse
E₂ = 2,91
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 8852
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·24/0,5)² = 8851
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 8852
Réponse
n = 8852
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,08
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Statistique de test
t = (203,9 − 200)/1,875 = 2,08
Réponse
t = 2,08
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 74
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).