Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 1000 patients ont reçu un nouveau traitement et 760 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté l’événement (un événement indésirable tel qu’un AVC). Trouvez la réduction absolue du risque ARR sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
traitement: 68/1000témoin: 129/760
ARR = %
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). 10 000 personnes sont dépistées avec un test de sensibilité 94 % et de spécificité 98 %. La prévalence de la maladie est de 13 %. Combien de résultats faux positifs FP attend-on ?
N = 10 000p = 13%Se = 94%Sp = 98%
FP =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 15, 23, 28, 21, 15, 21, 28.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 100. Trouve le score z z d'une note de 625.
μ = 500σ = 100x = 625
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 149 h, écart-type connu 13 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 142,5 h, écart-type connu 20 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 51 kg, écart-type 6,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 12 parcelles, moyenne 48 kg, écart-type 5,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
8 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 2,28 et l’écart-type des différences 2,8. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 8d̄ = 2,28sd = 2,8
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 36 patients sur 120 sous traitement A guérissent, et 108 sur 300 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 108n₂ = 300
z =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: ARR = 10,2 %
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 68/1000 = 0,068
CER = 129/760 = 0,1697
Réduction absolue du risque
ARR = 0,1697 − 0,068 = 0,1017 ≈ 10,2%
Réponse
ARR = 10,2%
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: FP = 174
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Avec et sans la maladie
10 000·0,13 = 1300
10 000 − 1300 = 8700
Faux positifs
FP = 8700·0,02 = 174
Réponse
FP = 174
Sur les 1396 positifs, seuls 1222 ont la maladie (VPP 87,5 %).
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 5,35
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (625 − 500)/100 = 1,25
Réponse
z = 1,25
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 5,549 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 149 − 142,5 = 6,5
Erreur type
SE = √(13²/50 + 20²/50) = 3,373
Marge d'erreur
E = 1,645·3,373 = 5,549
Réponse
E = 5,549 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 12,07 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·6,5² + 11·5,5²)/15 = 33,45
sp = 5,784
Marge d'erreur
E = 2,947·5,784·√(1/5 + 1/12) = 9,073
Intervalle
3 ± 9,073 → [−6,073, 12,07]
Réponse
borne supérieure = 12,07 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,303
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 2,8/√8 = 0,9899
Statistique de test
t = 2,28/0,9899 = 2,303
Réponse
t = 2,303
Avec df = 7, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,365 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −1,17
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 36/120 = 0,3
p̂₂ = 108/300 = 0,36
p̂ = 144/420 = 0,3429
Erreur type sous H₀
SE = √(0,3429·0,6571·(1/120 + 1/300)) = 0,05127
Statistique de test
z = (0,3 − 0,36)/0,05127 = −1,17
Réponse
z = −1,17
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).