Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un test a une sensibilité de 61 % et une spécificité de 91 %. Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
Se = 61%Sp = 91%
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un traitement réduit le risque d’un événement de 43 % en termes relatifs (RRR = 43 %). Dans un groupe de patients, le risque sans traitement (CER) est de 8 % sur cinq ans. Trouvez le nombre de patients à traiter NNT pendant cinq ans pour éviter un événement. Arrondissez au nombre entier de patients supérieur.
RRR = 43%CER = 8%
NNT =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 24, 27, 37, 49, 56.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 107,5.
μ = 100σ = 5x = 107,5
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 80 téléphones, moyenne 127,5 h, écart-type connu 7 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 118,5 h, écart-type connu 18 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 74 kg, écart-type 1 kg. Groupe de parcelles 2 : 11 parcelles, moyenne 70,5 kg, écart-type 8 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 76,42 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76,42s = 5n = 36
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 12. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 12E = 0,590%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,43
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,61)/0,91 = 0,4286 ≈ 0,43
Réponse
LR− = 0,43
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NNT = 30
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Réduction absolue du risque
ARR = 0,08·0,43 = 0,0344
Nombre de patients à traiter (NNT)
NNT = 1/0,0344 = 29,07 → 30
Réponse
NNT = 30
Le même effet relatif donne un NNT plus petit lorsque le risque de base est plus élevé.
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 13,79
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (107,5 − 100)/5 = 1,5
Réponse
z = 1,5
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 3,944 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 127,5 − 118,5 = 9
Erreur type
SE = √(7²/80 + 18²/100) = 1,963
Marge d'erreur
E = 2,576·1,963 = 5,056
Intervalle
9 ± 5,056 → [3,944, 14,06]
Réponse
borne inférieure = 3,944 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
6.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −2,942 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·1² + 10·8²)/14 = 46
sp = 6,782
Marge d'erreur
E = 1,761·6,782·√(1/5 + 1/11) = 6,442
Intervalle
3,5 ± 6,442 → [−2,942, 9,942]
Réponse
borne inférieure = −2,942 kg
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,704
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Statistique de test
t = (76,42 − 75)/0,8333 = 1,704
Réponse
t = 1,704
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 1559
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).