Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un nouveau test a été comparé à la méthode de référence dans une étude (voir le tableau 2 × 2). Trouvez le rapport de vraisemblance négatif LR−. Arrondissez à deux décimales.
a = 281b = 68c = 109d = 502
LR− =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 5 % pour une maladie. Un test de sensibilité 74 % et de spécificité 93 % donne un résultat négative. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 5%Se = 74%Sp = 93%négative
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 37, 19, 42, 35, 30, 58, 49.
n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 55.
μ = 70σ = 10x = 55
z =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 11 éléments a une moyenne de 78,5 et un écart-type s = 18. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 11x̄ = 78,5s = 1899%t(10) = 3,169
borne supérieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 25 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 3,2 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 24, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 12,401 et 2,5 % au-dessus de 39,364.
n = 25s = 3,2 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 198,3 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,3s = 12n = 100
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 20. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 20E = 0,599%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR− = 0,32
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Sensibilité et spécificité
Se = 281/390 = 0,7205
Sp = 502/570 = 0,8807
Rapport de vraisemblance négatif
LR− = (1 − 0,7205)/0,8807 = 0,3173 ≈ 0,32
Réponse
LR− = 0,32
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 1,5 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR− = (1 − 0,74)/0,93 = 0,2796
Cote pré-test
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Cote post-test
0,05263·0,2796 = 0,01471
Probabilité post-test
p′ = 0,01471/(1 + 0,01471) = 0,0145 ≈ 1,5%
Réponse
p′ = 1,5%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 12,71
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (55 − 70)/10 = −1,5
Réponse
z = −1,5
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 95,7
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Marge d'erreur
E = 3,169·18/√11 = 17,2
Intervalle
78,5 ± 17,2 → [61,3, 95,7]
Réponse
borne supérieure = 95,7
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 4,452 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 24·3,2² = 245,8
Bornes pour σ²
245,8/39,364 = 6,243
245,8/12,401 = 19,82
Borne pour σ
σ = √19,82 = 4,452 µm
Réponse
σ = 4,452 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [2,499, 4,452] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,417
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statistique de test
t = (198,3 − 200)/1,2 = −1,417
Réponse
t = −1,417
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 10618
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).