Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un nouveau test a été comparé à la méthode de référence dans une étude (voir le tableau 2 × 2). Trouvez le rapport de vraisemblance positif LR+. Arrondissez à deux décimales.
a = 205b = 136c = 105d = 1564
LR+ =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Sans le médicament, 15 % des patients présentent un certain effet indésirable au cours d’une année. Le médicament augmente ce risque avec un risque relatif RR = 2,13. Trouvez le nombre de patients à exposer pour observer un effet nocif NNH : combien de patients doivent prendre le médicament pendant un an pour qu’un patient de plus présente l’effet indésirable ? Arrondissez au nombre entier de patients supérieur.
témoin 15%RR = 2,13
NNH =
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 50, 11, 42, 41, 25, 36.
n = 6
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 76 ?
μ = 100σ = 20x = 76
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 43,5 et un écart-type s = 14. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 9x̄ = 43,5s = 1499%t(8) = 3,355
borne inférieure =
6.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 10 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 0,5 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 9, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 2,7 et 2,5 % au-dessus de 19,023.
n = 10s = 0,5 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 120 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 16. Un échantillon aléatoire de 64 observations a une moyenne de 123,04. Testez H₀ : μ = 120 contre H₁ : μ ≠ 120. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 120σ = 16n = 64x̄ = 123,04H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ < 100 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 15. En réalité, la moyenne vaut 91. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.
μ₀ = 100μ = 91σ = 15n = 36α = 0,01
β = %
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: LR+ = 8,27
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Sensibilité et spécificité
Se = 205/310 = 0,6613
Sp = 1564/1700 = 0,92
Rapport de vraisemblance positif
LR+ = 0,6613/(1 − 0,92) = 8,266 ≈ 8,27
Réponse
LR+ = 8,27
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: NNH = 6
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Risque avec le médicament
0,15·2,13 = 0,3195
Augmentation absolue du risque
ARI = 0,3195 − 0,15 = 0,1695
Nombre de patients à exposer pour observer un effet nocif (NNH)
NNH = 1/0,1695 = 5,9 → 6
Réponse
NNH = 6
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 14,02
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Réponse
P = 0,1151
5.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 27,84
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Marge d'erreur
E = 3,355·14/√9 = 15,66
Intervalle
43,5 ± 15,66 → [27,84, 59,16]
Réponse
borne inférieure = 27,84
6.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 0,9129 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 9·0,5² = 2,25
Bornes pour σ²
2,25/19,023 = 0,1183
2,25/2,7 = 0,8333
Borne pour σ
σ = √0,8333 = 0,9129 µm
Réponse
σ = 0,9129 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [0,3439, 0,9129] µm.
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,1285
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (123,04 − 120)/2 = 1,52
Aire de la queue
Φ(1,52) = 0,9357
1 − Φ(1,52) = 0,0643
Valeur p
p = 2·0,0643 = 0,1285
Réponse
p = 0,1285
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: β = 10,13 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).