Dessinez le tableau 2 × 2 et nommez a, b, c et d avant de calculer.
Lisez la sensibilité et la spécificité dans les colonnes, les valeurs prédictives dans les lignes.
Pour une autre prévalence, imaginez 10 000 personnes et remplissez le tableau avec Se, Sp et la prévalence.
Pour un rapport de vraisemblance, convertissez la probabilité en cote, multipliez, puis reconvertissez.
Pour un essai, trouvez d’abord EER et CER ; puis RR = EER/CER, RRA = CER − EER et NNT = 1/RRA arrondi au supérieur.
Statistique descriptive
Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ
Intervalles de confiance
σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up
Méthode
Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n
Méthode
Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
2Exercices
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesMoyen
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Dans un essai randomisé, 960 patients ont reçu un nouveau traitement et 150 ont reçu le traitement témoin. Le tableau indique combien, dans chaque groupe, ont présenté un effet indésirable. Trouvez le risque relatif RR de l’événement avec le traitement. Arrondissez à deux décimales.
traitement: 691/960témoin: 60/150
RR =
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuvesDifficile
Exercice d’entraînement (valeurs fictives, pas une recommandation clinique). Un patient a une probabilité pré-test de 25 % pour une maladie. Un test de sensibilité 89 % et de spécificité 88 % donne un résultat négative. Trouvez la probabilité post-test p′ de la maladie sous forme de pourcentage. Arrondissez à une décimale.
pré-test 25%Se = 89%Sp = 88%négative
p′ = %
3.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 27, 55, 50, 16, 14.
n = 5
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 50 ?
μ = 70σ = 20x = 50
P =
5.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 20 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de −4,1 et un écart-type de 1. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour la différence moyenne.
n = 20d̄ = −4,1sd = 190%t(19) = 1,729
E = mmHg
6.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 39. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 39E = 190%
n =
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
13 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −2,32 et l’écart-type des différences 3,8. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 13d̄ = −2,32sd = 3,8
t =
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 20. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 20E = 1,590%
n =
3Solutions
1.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: RR = 1,8
Rapports de vraisemblance et mesures du risque : RV+ = sensibilité/(1 − spécificité), RV− = (1 − sensibilité)/spécificité. Dans un essai, EER et CER sont les taux d’événements avec et sans traitement : RR = EER/CER, RRA = CER − EER, RRR = RRA/CER et NNT = 1/RRA, arrondi au supérieur. Dans une étude cas-témoins, seul l’odds ratio OR = ad/(bc) est utilisable. Un taux d’incidence = nouveaux cas/personnes-temps.
Taux d’événements
EER = 691/960 = 0,7198
CER = 60/150 = 0,4
Risque relatif
RR = 0,7198/0,4 = 1,799 ≈ 1,8
Réponse
RR = 1,8
2.Statistiques de la pratique fondée sur les preuves
Réponse: p′ = 4 %
Les valeurs prédictives dépendent de la prévalence : VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) et VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Avec les rapports de vraisemblance : cote pré-test = p/(1 − p), cote post-test = cote pré-test × RV, probabilité = cote/(1 + cote). Pour une population de N, vrais positifs = N·p·Se et faux positifs = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrondi au supérieur.
Rapport de vraisemblance
LR− = (1 − 0,89)/0,88 = 0,125
Cote pré-test
0,25/(1 − 0,25) = 0,3333
Cote post-test
0,3333·0,125 = 0,04167
Probabilité post-test
p′ = 0,04167/(1 + 0,04167) = 0,04 = 4%
Réponse
p′ = 4%
3.Statistique descriptive
Réponse: s = 19,09
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1
Table de la loi normale
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
5.Intervalles de confiance
Réponse: E = 0,3866 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 19, t = 1,729
Marge d'erreur
E = 1,729·1/√20 = 0,3866
Réponse
E = 0,3866 mmHg
6.Intervalles de confiance
Réponse: n = 4116
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·39/1)² = 4116
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 4116
Réponse
n = 4116
7.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,201
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 3,8/√13 = 1,054
Statistique de test
t = −2,32/1,054 = −2,201
Réponse
t = −2,201
Avec df = 12, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,179 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
8.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 482
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).