Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 4 mw = 2 kN/m de 0 à 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant MB à l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 7,5 mw = 10 kN/m de 0 à 7,5 mappuis en x = 0 et x = 6 m
MB = kN·m
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 2 m de l’appui A. Trouvez la flèche δP sous la charge.
P = 4 kNa = 2 mL = 6 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 125 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez la hauteur minimale hreq de la section.
w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 125 mm
hreq = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 30 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 30 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
Trouvez le moment quadratique Ix de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.
bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σbas au bord inférieur.
Une couche d’argile surconsolidée de 7 m d’épaisseur a Cc = 0,2, Cr = 0,02 et e₀ = 0,8. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 65 kPa et la pression de préconsolidation vaut 145 kPa. Un nouveau bâtiment ajoute 110 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.
Une couche d’argile de 4,5 m d’épaisseur a un coefficient de consolidation cv = 5 m²/an. Elle se trouve entre deux couches de sable ; l’eau s’évacue donc en haut et en bas. Pour un degré de consolidation moyen de 50 %, le facteur temps vaut Tv = 0,197. Combien d’années t faut-il à la couche pour atteindre 50 % de consolidation ?
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
19.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 1,3 m/s dans une conduite de 400 m de long et de diamètre intérieur 150 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
20.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,025. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 10 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 0,2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Un canal trapézoïdal en terre enherbée a une largeur au fond de 2,5 m et un fruit des berges de 2:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 1,2 m de profondeur. n de Manning = 0,03 et la pente du fond vaut S = 0,0015. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 2,5 my = 1,2 mz = 2n = 0,03S = 0,0015
Q = m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en béton lissé de largeur au fond 4,5 m et de fruit des berges 1:1 (horizontal:vertical) doit transporter 17 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,5 m. n de Manning = 0,012. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 17 m³/sb = 4,5 my = 1,5 mz = 1n = 0,012
S = m/m
23.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 72 % débite 60 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 20 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 60 L/sH = 20 mη = 72%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
24.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 15 m plus haut. La conduite mesure 500 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Vous placez €10 000 à 4 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 3 ans.
PV = €10 000r = 4%t = 3
FV = €
26.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €2 500 au début de chaque année pendant 12 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 8 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 12 ? Trouvez FV.
A = €2 500i = 8%n = 12
FV = €
27.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €80 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €3 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €80 000M = €3 000n = 9r = 10%
EAC = €
28.VAN et TRIDifficile
Le projet A coûte €10 000 et rapporte €5 500, €4 000, €2 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €15 000 et rapporte €4 000, €6 000, €8 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 22,4 et 42,8 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 22,4x2 = 42,8
P =
30.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,015 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 8,75 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 10·4
RB = 70/8 = 8,75 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 8,75 = 31,25 kN
Réponse
RB = 8,75 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 10 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, appliquée en x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·3 + 8·1·1,5
RB = 72/4 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 18 = 10 kN
Réponse
RA = 10 kN
3.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre DH
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud D
CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud B
AB et BC sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, appliquée en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
Couper en x = 2 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 4·2 − 2·2·1 = 4 kN·m
Réponse
Mx = 4 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: MB = −11,25 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·7,5 = 75 kN, appliquée en x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·7,5·3,75
RB = 281,3/6 = 46,88 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 46,88 = 28,13 kN
Coupure en B en gardant le porte-à-faux
La charge sur le porte-à-faux, w·a, agit à a/2 de B et met la poutre en flexion négative au-dessus de l’appui.
MB = −w·a²/2 = −10·1,5²/2 = −11,25 kN·m
Réponse
MB = −11,25 kN·m
7.Flèche d’une poutre
Réponse: δP = 56,21 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 4000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²
Flèche sous la charge
δP = Pa²b²/(3EIL) = 4000·2000²·4000²/(3·2,53 × 10¹¹·6000) = 56,21 mm
Réponse
δP = 56,21 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: hreq = 155,1 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
bh³/12 = Ireq → h = (12·3,883 × 10⁷/125)1/3 = 155,1 mm
Réponse
hreq = 155,1 mm
En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 4,905 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,66 mm
Réponse
d = 72,66 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 330,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.
11.Centre de gravité et moment quadratique
Réponse: Ix = 59,83 × 10⁶ mm⁴
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Découper en deux rectangles
Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.
semelle: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 280 + 15/2 = 287,5 mm
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Découper en deux rectangles
Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.
semelle: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 161 − 49,05 = 111,9 kPa
Réponse
σ′ = 111,9 kPa
14.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ = 146 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·2 + γsat,sand·4 + γsat,clay·2
σ = 17·2 + 19·4 + 18·2 = 146 kPa
Réponse
σ = 146 kPa
15.Tassement de consolidation
Réponse: S = 90,62 mm
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
S = 0,02·7/(1 + 0,8)·log₁₀(145/65) + 0,2·7/(1 + 0,8)·log₁₀(175/145)
S = 27,1 + 63,52 = 90,62 mm
Réponse
S = 90,62 mm
16.Tassement de consolidation
Réponse: t = 0,1995 ans
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Chemin de drainage
Hdr = H/2 = 4,5/2 = 2,25 m
Durée
t = Tv·Hdr²/cv = 0,197·2,25²/5 = 0,1995 ans
Réponse
t = 0,1995 ans
17.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 103 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN
Réponse
F = 103 kN
18.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 34,76 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,25·2,25 = 34,76 kN
Réponse
F = 34,76 kN
19.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 3,445 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,15)·1,3²/(2·9,81) = 3,445 m
Réponse
hf = 3,445 m
20.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 114,4 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,025·100/0,2 = 12,5
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·1,2)·1,2 = 5,88 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,2·√(1 + 2²) = 7,867 m
R = A/P = 0,7475 m
Vitesse
V = (1/0,03)·0,74752/3·0,00151/2 = 1,063 m/s
Débit
Q = A·V = 5,88·1,063 = 6,252 m³/s
Réponse
Q = 6,252 m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,0004943 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1·1,5)·1,5 = 9 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 8,743 m
R = A/P = 1,029 m
Résoudre Manning pour S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·17/(9·1,02) = 0,02223
S = 0,02223² = 0,0004943
Réponse
S = 0,0004943
Cela correspond à une pente de 0,4943 m par kilomètre.
23.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 16,35 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·20 = 11,77 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 11,77/0,72 = 16,35 kW
Réponse
Pshaft = 16,35 kW
24.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 30,15 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 15 + 15,15 = 30,15 m
Réponse
H = 30,15 m
25.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 11275 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,04·3 = 0,12
e0,12 = 1,127
Valeur future
FV = 10 000·1,127 = €11 274,97
Réponse
FV = €11 274,97
26.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 51238 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,08)12 − 1)/0,08 = 18,98
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 2 500·18,98·1,08 = €51 238,24
Réponse
FV = €51 238,24
27.VAN et TRI
Réponse: EAC = 16891 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Prix d’achat annualisé
80 000/5,759 = 13 891,24
EAC
EAC = 13 891,24 + 3 000 = €16 891,24
Réponse
EAC = €16 891,24
28.VAN et TRI
Réponse: r* = 5,886 %
Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.
Différence des flux
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
TRI de la différence
NPVΔ(5%) = 136,59
NPVΔ(6%) = −17,20
r* = 5,886%
Réponse
r* = 5,886%
Vérification : à 5,886%, les deux VAN valent €867,70.
29.Loi normale
Réponse: P = 0,9093
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1,8) − Φ(−1,6) = 0,9641 − 0,0548 = 0,9093
Réponse
P = 0,9093
30.Loi normale
Réponse: P = 0,9868
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Probabilités
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Réponse
P = 0,9868
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