laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
Formule de Manning
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Débit
Q = A·V
Rayon hydraulique
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle
A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
R = D/4
Pente nécessaire
S = (n·Q/(A·R2/3))²
Pompes et puissance de pompage
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/ηpump
Puissance électrique
Pel = Pshaft/ηmotor
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Pertes du réseau
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Loi normale
Score z
z = (x − μ)/σ
En dessous de x
P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs
Φ(z2) − Φ(z1)
Centile
x = μ + z·σ
Méthode
Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 5,5 m de A et un couple horaire M à 0,5 m de A. Trouvez la réaction verticale RB, en comptant positif vers le haut.
L = 6 mP = 50 kN à 5,5 mM = 40 kN·m (horaire) à 0,5 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 4 mP = 40 kN à 2,5 mw = 10 kN/m de 2 à 4 m
RB = kN
3.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
D: 10 kN ↓F: 40 kN ↓G: 10 kN ↓
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC
4.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P1 entre les appuis et une charge ponctuelle P2 en C. Trouvez le moment fléchissant Mx sous la charge P1. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 7 mP1 = 70 kN à 2 mP2 = 15 kN à 7 mappuis en x = 0 et x = 6 m
Mx = kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 8 mP = 10 kN à 3 mw = 3 kN/m de 0 à 8 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.
P = 17 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la réaction RB à l’appui simple.
L = 3 mP = 20 kN à 1,5 m
RB = kN
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.
L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
Trouvez le moment quadratique Ix de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.
bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 50 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σbas au bord inférieur.
Une couche d’argile surconsolidée de 7 m d’épaisseur a Cc = 0,35, Cr = 0,02 et e₀ = 1. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 95 kPa et le rapport de surconsolidation vaut OCR = 3. Un nouveau bâtiment ajoute 150 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.
Lors d’un essai œdométrique en laboratoire, une éprouvette d’argile de 20 mm d’épaisseur, drainée en haut et en bas, atteint 50 % de consolidation en 4 min. Sur le terrain, la même argile forme une couche de 4 m d’épaisseur. Elle se trouve entre deux couches de sable ; l’eau s’évacue donc en haut et en bas. Combien de jours t faut-il à la couche en place pour atteindre 50 % de consolidation ?
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
19.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule à une vitesse moyenne de 2,2 m/s dans une conduite de 1000 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
20.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 500 m de long, de diamètre intérieur 300 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 23 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 5) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 600 mm coule tout juste plein (en écoulement à surface libre, pas en charge). n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,001. Trouvez le débit Q en m³/s.
D = 600 mmn = 0,013S = 0,001
Q = m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un collecteur en béton de diamètre intérieur 450 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 0,6 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).
D = 450 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m
23.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 30 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 44 m tandis que son arbre absorbe 15,8 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 30 L/sH = 44 mPshaft = 15,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
24.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 12 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 150 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €8 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 2 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €8 000g = 2%r = 5%
PV = €
26.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €150 à la fin de chaque mois pendant 18 ans. Le compte rapporte 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1504,8% / 12N = 216
FV = €
27.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €12 000, €9 000, €10 000, €10 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €18 000, €11 500, €9 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 11 500CF3 = 9 500
IRR = %
29.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 442 et 580 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 442x2 = 580
P =
30.Loi normaleDifficile
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 40 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 52,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Moments par rapport à A
Sens trigonométrique positif.
ΣMA = 0: RB·6 − 50·5,5 − 40 = 0
RB = 315/6 = 52,5 kN
Équilibre vertical
RA = 50 − 52,5 = −2,5 kN
Réponse
RB = 52,5 kN
Une réaction négative est dirigée vers le bas.
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 40 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2,5 + 10·2·3
RB = 160/4 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 40 = 20 kN
Réponse
RB = 40 kN
3.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre BF
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud B
AB et BC sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud B
AB et BC sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.
ΣMA = 0: RB·6 = 70·2 + 15·7
RB = 245/6 = 40,83 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 40,83 = 44,17 kN
Coupure sous P1 en gardant la partie gauche
Mx = RA·2 = 44,17·2 = 88,33 kN·m
Réponse
Mx = 88,33 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 36,25 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, appliquée en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·3 + 3·8·4
RB = 126/8 = 15,75 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 15,75 = 18,25 kN
Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 18,25·2,5 − 3·2,5·1,25 = 36,25 kN·m
Réponse
Mx = 36,25 kN·m
7.Flèche d’une poutre
Réponse: δ = 77,28 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 17000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²
Chaque charge seule
δP = PL³/(3EI) = 17000·3000³/(3·4,6 × 10¹²) = 33,26 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 44,02 mm
Les additionner
δ = 33,26 + 44,02 = 77,28 mm
Réponse
δ = 77,28 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: RB = 6,25 kN
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).
Supprimer l’appui simple
Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
Compatibilité à l’appui simple
La réaction RB seule soulève l’extrémité libre de RBL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Rayon de giration et élancement
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/15 = 166,7
Contrainte critique
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa
Réponse
σcr = 24,87 MPa
11.Centre de gravité et moment quadratique
Réponse: Ix = 2,412 × 10⁶ mm⁴
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Découper en deux rectangles
Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.
semelle: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Découper en deux rectangles
Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.
semelle: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 300 + 15/2 = 307,5 mm
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·3 = 29,43 kPa
Réponse
u = 29,43 kPa
14.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ′ = 83,83 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·1 + γsat,sand·5 + γsat,clay·2
σ = 16·1 + 20,5·5 + 17·2 = 152,5 kPa
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·7 = 68,67 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 152,5 − 68,67 = 83,83 kPa
Réponse
σ′ = 83,83 kPa
15.Tassement de consolidation
Réponse: S = 28,8 mm
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Pression de préconsolidation
σ′p = OCR·σ′0 = 3·95 = 285 kPa
Comparer avec la pression de préconsolidation
σ′f = 95 + 150 = 245 kPa ≤ 285 kPa
Tassement
L’argile reste sur sa droite de recompression.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,02·7/(1 + 1)·log₁₀(245/95) = 28,8 mm
Réponse
S = 28,8 mm
16.Tassement de consolidation
Réponse: t = 111,1 jours
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Chemins de drainage
Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m
Hdr,field = 4/2 = 2 m
Mettre le temps à l’échelle
t = Tv·Hdr²/cv avec les mêmes T_v et cv au laboratoire et sur le terrain.
tfield = 4·(2/0,01)² = 160000 min
tfield = 160000/1440 = 111,1 jours
Réponse
t = 111,1 jours
17.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 91,97 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·2,5 = 91,97 kN
Réponse
F = 91,97 kN
18.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 160,9 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4·4 = 160,9 kN
Réponse
F = 160,9 kN
19.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 17,76 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,25)·2,2²/(2·9,81) = 17,76 m
Réponse
hf = 17,76 m
20.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 246,5 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m
Vitesse
V = (1/0,013)·0,152/3·0,0011/2 = 0,6867 m/s
Débit
Q = A·V = 0,2827·0,6867 = 0,1942 m³/s
Réponse
Q = 0,1942 m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,00112 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Rayon hydraulique
R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m
Résoudre Manning pour S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,233)² = 0,00112
Réponse
S = 0,00112
Cela correspond à une pente de 1,12 m par kilomètre.
23.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 81,96 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·44 = 12,95 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 12,95/15,8 = 81,96%
Réponse
η = 81,96%
24.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 24,65 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 12 + 12,65 = 24,65 m
Réponse
H = 24,65 m
25.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 266667 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €32 400 ; le reste, ce sont des intérêts.
27.VAN et TRI
Réponse: NPV = 6457 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 12 000/1,05 = 11 428,57
CF2/(1 + 0,05)2 = 9 000/1,103 = 8 163,27
CF3/(1 + 0,05)3 = 10 000/1,158 = 8 638,38
CF4/(1 + 0,05)4 = 10 000/1,216 = 8 227,02
Additionner
NPV = €6 457,24
Réponse
NPV = €6 457,24
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
28.VAN et TRI
Réponse: IRR = 29,92 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 1 624,00
NPV(30%) = −25,03
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(2) − Φ(−1,45) = 0,9772 − 0,07353 = 0,9037
Réponse
P = 0,9037
30.Loi normale
Réponse: x = 490 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,4
z d’après la table
z ≈ −0,25
Retour aux unités d’origine
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Réponse
x = 490 h
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