laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
Vitesse moyenne
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Pertes de charge singulières
hm = ΣK·V²/(2g)
Valeurs typiques de K
entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
Chute de pression
Δp = ρ·g·hf
Deux réservoirs à l’air libre
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sortie libre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Écoulement à surface libre (Manning)
Formule de Manning
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Débit
Q = A·V
Rayon hydraulique
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectangle
A = b·y, P = b + 2y
Trapèze (fruit des berges z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Conduite circulaire, pleine ou à moitié pleine
R = D/4
Pente nécessaire
S = (n·Q/(A·R2/3))²
Pompes et puissance de pompage
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/ηpump
Puissance électrique
Pel = Pshaft/ηmotor
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Pertes du réseau
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Loi normale
Score z
z = (x − μ)/σ
En dessous de x
P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs
Φ(z2) − Φ(z1)
Centile
x = μ + z·σ
Méthode
Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 8 mP1 = 50 kN à 1 mP2 = 15 kN à 4 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Une charge P agit à 3,5 m de A, inclinée de 45° par rapport à l’horizontale, et une charge verticale Q agit à 1 m de A. Trouvez l’angle α entre la réaction totale à l’articulation A et l’horizontale.
L = 6 mP = 80 kN à 3,5 m, θ = 45°Q = 55 kN à 1 m
α = °
3.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 8 mhauteur = 2 mB est à 2 m de Acharge verticale = 50 kN
FAC = kN
4.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 5 mhauteur = 4 mB est à 2 m de Acharge verticale = 60 kNcharge horizontale = 10 kN →
FBC = kN
5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 5,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 10 mw = 10 kN/m de 0 à 10 mx = 5,5 m
Mx = kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 8 mP = 25 kN à 2 mw = 10 kN/m de 0 à 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 21 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 50 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez la hauteur minimale hreq de la section.
w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 50 mm
hreq = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (acier)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.
L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 200 mm de large avec deux ailes verticales de 170 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 16 mm. Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité au-dessus du bord inférieur.
b = 200 mmh = 170 mmt = 16 mm
ȳ = mm
12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
Une section en I symétrique a des semelles de 180 mm de large et 18 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 460 mm et une âme de 14 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 120 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σj à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.
Une couche d’argile surconsolidée de 2,5 m d’épaisseur a Cc = 0,35, Cr = 0,05 et e₀ = 0,85. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 60 kPa et le rapport de surconsolidation vaut OCR = 1,5. Un nouveau bâtiment ajoute 160 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.
Une couche d’argile de 4 m d’épaisseur a un coefficient de consolidation cv = 0,5 m²/an. Elle se trouve entre deux couches de sable ; l’eau s’évacue donc en haut et en bas. Pour un degré de consolidation moyen de 80 %, le facteur temps vaut Tv = 0,567. Combien d’années t faut-il à la couche pour atteindre 80 % de consolidation ?
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
19.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,6 m/s dans une conduite horizontale de 100 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,028 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
20.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 300 m de long et de diamètre intérieur 250 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,02) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 5). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 100 L/s ?
Un collecteur d’eaux pluviales en béton de diamètre intérieur 750 mm coule tout juste plein (en écoulement à surface libre, pas en charge). n de Manning = 0,013 et la pente vaut S = 0,005. Trouvez le débit Q en m³/s.
D = 750 mmn = 0,013S = 0,005
Q = m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un canal trapézoïdal en terre propre de largeur au fond 5 m et de fruit des berges 3:1 (horizontal:vertical) doit transporter 33 m³/s en écoulement uniforme à une profondeur de 1,6 m. n de Manning = 0,022. Trouvez la pente du fond nécessaire S (en m/m).
Q = 33 m³/sb = 5 my = 1,6 mz = 3n = 0,022
S = m/m
23.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe débite 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 10 m. Le rendement de la pompe est de 70 % et le moteur électrique qui l’entraîne a un rendement de 90 %. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance électrique Pel absorbée par le moteur, en kW.
Une pompe refoule 120 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 22 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 250 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Tu places €8 000 à un taux nominal de 5 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 4 ans.
PV = €8 0005% / 12n = 4
FV = €
26.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités égales sur 30 ans. Le taux d'intérêt est de 6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €200 0006% / 12N = 360
A = €
27.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui et rapporte €16 500, €12 500, €15 500, €16 000, €21 000 à la fin des années 1 à 5. Le coût du capital est de 10 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €10 000 et rapporte €7 000, €6 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 6 000
IRR = %
29.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 438 et 582 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 438x2 = 582
P =
30.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,01 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,015 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 13,75 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·8 = 50·1 + 15·4
RB = 110/8 = 13,75 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 13,75 = 51,25 kN
Réponse
RB = 13,75 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: α = 50,82 °
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Composantes de P
Pv = 80·sin 45° = 56,57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56,57 kN
Réactions
ΣMA = 0: RB·6 = 56,57·3,5 + 55·1 → RB = 42,16 kN
Ay = 56,57 + 55 − 42,16 = 69,4 kN
Ax = Ph = 56,57 kN
Direction en A
α = atan(Ay/Ax) = atan(69,4/56,57) = 50,82°
Réponse
α = 50,82°
3.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAC = 37,5 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·2 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 12,5 = 37,5 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 + 10·4 → Cy = 32 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 32 = 28 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, appliquée en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
Couper en x = 5,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 50·5,5 − 10·5,5·2,75 = 123,8 kN·m
Réponse
Mx = 123,8 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 97,5 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, appliquée en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·2 + 10·8·4
RB = 370/8 = 46,25 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 46,25 = 58,75 kN
Couper en x = 2 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 58,75·2 − 10·2·1 = 97,5 kN·m
Réponse
Mx = 97,5 kN·m
7.Flèche d’une poutre
Réponse: δB = 58,33 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 21000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 42,42 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,03182 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 58,33 mm
Réponse
δB = 58,33 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: hreq = 176,8 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
bh³/12 = Ireq → h = (12·2,301 × 10⁷/50)1/3 = 176,8 mm
Réponse
hreq = 176,8 mm
En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 23,39 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Rayon de giration et élancement
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210
Contrainte critique
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa
Réponse
σcr = 15,67 MPa
11.Centre de gravité et moment quadratique
Réponse: ȳ = 59,54 mm
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Décomposer en rectangles
Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.
excipient: A1 = 200·16 = 3200 mm², y1 = 8 mm
deux ailes: A2 = 2·16·154 = 4928 mm², y2 = 16 + 154/2 = 93 mm
Centre de gravité
ȳ = (3200·8 + 4928·93)/8128 = 59,54 mm
Réponse
ȳ = 59,54 mm
12.Centre de gravité et moment quadratique
Réponse: σj = 62,72 MPa
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux
Les deux évidements ensemble font (B − tw) de large et hw = H − 2tf de haut, et sont rapportés à l’axe x.
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·1 + 19·5 = 111 kPa
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 111 − 49,05 = 61,95 kPa
Réponse
σ′ = 61,95 kPa
14.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ′ = 73,95 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·4
σ = 16,5·2 + 20·1 + 17,5·4 = 123 kPa
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·5 = 49,05 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 123 − 49,05 = 73,95 kPa
Réponse
σ′ = 73,95 kPa
15.Tassement de consolidation
Réponse: S = 195,5 mm
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
S = 0,05·2,5/(1 + 0,85)·log₁₀(90/60) + 0,35·2,5/(1 + 0,85)·log₁₀(220/90)
S = 11,9 + 183,6 = 195,5 mm
Réponse
S = 195,5 mm
16.Tassement de consolidation
Réponse: t = 4,536 ans
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Chemin de drainage
Hdr = H/2 = 4/2 = 2 m
Durée
t = Tv·Hdr²/cv = 0,567·2²/0,5 = 4,536 ans
Réponse
t = 4,536 ans
17.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 14,71 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN
Réponse
F = 14,71 kN
18.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 1,4 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,25·2,25 = 34,76 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,25)·1,6²/(2·9,81) = 1,461 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 24 + 6,1)·0,2115 = 6,578 m
Réponse
H = 6,578 m
21.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: Q = 0,7872 m³/s
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m
Vitesse
V = (1/0,013)·0,18752/3·0,0051/2 = 1,782 m/s
Débit
Q = A·V = 0,4418·1,782 = 0,7872 m³/s
Réponse
Q = 0,7872 m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,002042 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,6)·1,6 = 15,68 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 15,12 m
Cela correspond à une pente de 2,042 m par kilomètre.
23.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pel = 12,46 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·10 = 7,848 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = 7,848/0,7 = 11,21 kW
Puissance électrique
Pel = 11,21/0,9 = 12,46 kW
Réponse
Pel = 12,46 kW
24.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 28,82 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 22 + 6,823 = 28,82 m
Réponse
H = 28,82 m
25.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 9767 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·30 = 360
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,166
A = 200 000·0,005/(1 − 0,166) = €1 199,10
Réponse
A = €1 199,10
27.VAN et TRI
Réponse: DPB = 4,161 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 16 500/1,1 = 15 000,00 → Σ = 15 000,00
année 2: 12 500/1,21 = 10 330,58 → Σ = 25 330,58
année 3: 15 500/1,331 = 11 645,38 → Σ = 36 975,96
année 4: 16 000/1,464 = 10 928,22 → Σ = 47 904,17
année 5: 21 000/1,611 = 13 039,35 → Σ = 60 943,52
Fraction de la dernière année
DPB = 4 + 2 095,83/13 039,35 = 4,161
Réponse
DPB = 4,161 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,344 ans).
28.VAN et TRI
Réponse: IRR = 20 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 0,00
NPV(25%) = −560,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 20 + 5·0,00/(0,00 − (−560,00)) = 20%
exact: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%
Réponse
IRR = 20%
29.Loi normale
Réponse: P = 0,9192
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).