Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 6 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
35 kN @ 6 m15 kN @ 3 m10 kN/m, 0–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δmax, à mi-portée.
w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 75 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/250. Trouvez la hauteur minimale hreq de la section.
w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 75 mm
hreq = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 105 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 105 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
Une plaque de 150 mm × 300 mm a un trou circulaire de diamètre 50 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 90 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.
b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmcentre du trou: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 25 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σhaut au bord supérieur.
Une couche d’argile surconsolidée de 7 m d’épaisseur a Cc = 0,4, Cr = 0,05 et e₀ = 0,75. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 80 kPa et la pression de préconsolidation vaut 130 kPa. Un nouveau bâtiment ajoute 45 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.
Une couche d’argile de 7 m d’épaisseur a un coefficient de consolidation cv = 0,5 m²/an. Elle se trouve entre deux couches de sable ; l’eau s’évacue donc en haut et en bas. Pour un degré de consolidation moyen de 90 %, le facteur temps vaut Tv = 0,848. Combien d’années t faut-il à la couche pour atteindre 90 % de consolidation ?
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
19.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 40 L/s dans une conduite de 1000 m de long et de diamètre intérieur 200 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,015 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
20.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 100 m de long, de diamètre intérieur 150 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,022. La surface de l’eau du réservoir supérieur est 21 m plus haut que celle du réservoir inférieur. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le débit Q en L/s.
Un canal trapézoïdal en terre propre a une largeur au fond de 5 m et un fruit des berges de 1:1 (horizontal:vertical). L’eau s’écoule uniformément sur 2,2 m de profondeur. n de Manning = 0,022 et la pente du fond vaut S = 0,0008. Trouvez le débit Q en m³/s.
b = 5 my = 2,2 mz = 1n = 0,022S = 0,0008
Q = m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)Difficile
Un collecteur en béton de diamètre intérieur 300 mm (n de Manning = 0,013) doit atteindre une vitesse d’autocurage de 1 m/s lorsqu’il coule tout juste plein. Trouvez la pente minimale S (en m/m).
D = 300 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m
23.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 72 % débite 30 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 10 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 30 L/sH = 10 mη = 72%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
24.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 40 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 5 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Une annuité verse €500 à la fin de chaque année pendant 16 ans. Le taux d’intérêt est de 10 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €500i = 10%n = 16
PV = €
26.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €250 à la fin de chaque mois pendant 23 ans. Le compte rapporte 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €2507,2% / 12N = 276
FV = €
27.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €50 000 aujourd’hui. Elle génère €10 000 à la fin de chaque année pendant 5 ans et peut ensuite être revendue €10 000. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €50 000CF = €10 000S = €10 000n = 5r = 10%
NPV = €
28.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €15 000, €18 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 18 000
IRR = %
29.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 25,1 et 33,5 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 33,5
P =
30.Loi normaleDifficile
Les les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart type 7 cm. Faites glisser le seuil pour que les 75 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 178 cmσ = 7 cm75%
x = cm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 29,38 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 25·2,5
RB = 142,5/4 = 35,63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 35,63 = 29,38 kN
Réponse
RA = 29,38 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 33,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, appliquée en x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·2,5 + 10·3·3,5
RB = 167,5/5 = 33,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 33,5 = 21,5 kN
Réponse
RB = 33,5 kN
3.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre CG
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 30·0,5 − 10·0,5·0,25 = 13,75 kN·m
Réponse
Mx = 13,75 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: E (x = 4 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 6,25 kN, R2 = 83,75 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = 1,25, MC = −7,5, MD = −26,25, ME = −70 kN·m, MF = −35, MG = 0
Réponse
Repère E: ME = −70 kN·m
7.Flèche d’une poutre
Réponse: δmax = 1,406 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²
Flèche
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 1,406 mm
Réponse
δmax = 1,406 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: hreq = 248,5 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
bh³/12 = Ireq → h = (12·9,588 × 10⁷/75)1/3 = 248,5 mm
Réponse
hreq = 248,5 mm
En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 12,21 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 59,02 mm
Réponse
d = 59,02 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 94,88, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.
11.Centre de gravité et moment quadratique
Réponse: Ix = 329,8 × 10⁶ mm⁴
Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a Ic = bh³/12 et un cercle Ic = πd⁴/64.
Centre de gravité
ȳ = (45000·150 − 1963·90)/(45000 − 1963) = 152,7 mm
Plaque pleine par rapport à ȳ
150·300³/12 + 45000·−2,737² = 337,8 × 10⁶ mm⁴
Trou par rapport à ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−62,74² = 8,035 × 10⁶ mm⁴
Soustraire
Ix = 329,8 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ix = 329,8 × 10⁶ mm⁴
12.Centre de gravité et moment quadratique
Réponse: σhaut = 185,9 MPa
Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.
Découper en deux rectangles
Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.
semelle: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·6 = 58,86 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 150 − 58,86 = 91,14 kPa
Réponse
σ′ = 91,14 kPa
14.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ = 165 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·4 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3,5
σ = 16·4 + 19·2 + 18·3,5 = 165 kPa
Réponse
σ = 165 kPa
15.Tassement de consolidation
Réponse: S = 38,76 mm
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Comparer avec la pression de préconsolidation
σ′f = 80 + 45 = 125 kPa ≤ 130 kPa
Tassement
L’argile reste sur sa droite de recompression.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,05·7/(1 + 0,75)·log₁₀(125/80) = 38,76 mm
Réponse
S = 38,76 mm
16.Tassement de consolidation
Réponse: t = 20,78 ans
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Chemin de drainage
Hdr = H/2 = 7/2 = 3,5 m
Durée
t = Tv·Hdr²/cv = 0,848·3,5²/0,5 = 20,78 ans
Réponse
t = 20,78 ans
17.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 40,47 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN
Réponse
F = 40,47 kN
18.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 67,44 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN
Réponse
F = 67,44 kN
19.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 6,197 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,2)·1,273²/(2·9,81) = 6,197 m
Réponse
hf = 6,197 m
20.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Q = 82,8 L/s
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1
Équation de l’énergie
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; tout Δz est donc perdu dans la conduite.
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Géométrie
A = (b + z·y)·y = (5 + 1·2,2)·2,2 = 15,84 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,2·√(1 + 1²) = 11,22 m
R = A/P = 1,411 m
Vitesse
V = (1/0,022)·1,4112/3·0,00081/2 = 1,618 m/s
Débit
Q = A·V = 15,84·1,618 = 25,62 m³/s
Réponse
Q = 25,62 m³/s
22.Écoulement à surface libre (Manning)
Réponse: S = 0,005343 m/m
Formule de Manning (SI) : pour un écoulement uniforme dans un canal à surface libre, V = (1/n)·R2/3·S1/2 et Q = A·V, avec n le coefficient de rugosité, S la pente du fond (m/m) et R = A/P le rayon hydraulique : section mouillée divisée par le périmètre mouillé. Seule la paroi en contact avec l’eau compte dans P, pas la surface libre. Rectangle : A = b·y, P = b + 2y. Trapèze de fruit des berges z:1 (horizontal:vertical) : A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Une conduite circulaire pleine ou à moitié pleine a R = D/4.
Rayon hydraulique
R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m
Résoudre Manning pour S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,1778)² = 0,005343
Réponse
S = 0,005343
Cela correspond à une pente de 5,343 m par kilomètre.
23.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 4,088 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·10 = 2,943 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 2,943/0,72 = 4,088 kW
Réponse
Pshaft = 4,088 kW
24.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 6,9 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Les deux surfaces sont à l’air libre et pratiquement au repos ; les termes de pression et de vitesse disparaissent donc.
H = Δz + hL = 5 + 1,9 = 6,9 m
Réponse
H = 6,9 m
25.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 3912 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2176)/0,1 = 7,824
Valeur actuelle
PV = 500·7,824 = €3 911,85
Réponse
PV = €3 911,85
26.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 175519 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €69 000 ; le reste, ce sont des intérêts.
27.VAN et TRI
Réponse: NPV = −5883 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle des flux annuels
10 000·3,791 = 37 907,87
Valeur actuelle de la valeur résiduelle
10 000/1,611 = 6 209,21
NPV
NPV = −50 000 + 37 907,87 + 6 209,21 = −€5 882,92
Réponse
NPV = −€5 882,92
28.VAN et TRI
Réponse: IRR = 20 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 1 654,06
NPV(20%) = 0,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 15 + 5·1 654,06/(1 654,06 − (0,00)) = 20%
exact: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%
Réponse
IRR = 20%
29.Loi normale
Réponse: P = 0,4736
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,25) − Φ(−1,15) = 0,5987 − 0,1251 = 0,4736
Réponse
P = 0,4736
30.Loi normale
Réponse: x = 173,3 cm
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.