Entraînement à l’examen FE Mechanical : pack de révision

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Mouvement d’un projectile : sans résistance de l’air, x = v_xt et y = h + v_yt − ½gt². Les deux directions sont indépendantes, sauf qu’elles partagent le même temps.

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d). La puissance est la force multipliée par la vitesse : P = F·v.

Théorème de l’énergie cinétique : la variation d’énergie cinétique égale le travail de toutes les forces. En écrivant la pesanteur et les ressorts sous forme d’énergie potentielle (mgh et ½kx²), on obtient un bilan : énergie initiale = énergie finale + énergie perdue par frottement (μN·d). Sur une trajectoire circulaire, la force résultante vers le centre doit être égale à mv²/r.

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vibrations libres d’un système masse–ressort : la pulsation propre non amortie vaut ω_n = √(k/m) en rad/s, et f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortisseur visqueux c donne le taux d’amortissement ζ = c/c_c, avec l’amortissement critique c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un système sous-amorti (ζ < 1) oscille à ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Des ressorts en parallèle s’additionnent, k = k₁ + k₂ ; des ressorts en série s’additionnent par leurs inverses, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières h_m = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = h_f + h_m, perte de sortie K = 1 comprise.

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : P_shaft = P_h/η_pump, et le moteur absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Transmissions par courroie : sans glissement, les deux poulies ont la même vitesse périphérique v = π·d·n/60, donc n₁·d₁ = n₂·d₂ et le rapport de vitesses vaut d₂/d₁. Le glissement s ralentit un peu la poulie menée : n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La puissance transmise est P = (T₁ − T₂)·v, avec T₁ la tension du brin tendu et T₂ celle du brin mou. Le frottement limite le rapport des tensions : T₁/T₂ = e^μθ, où θ est l’angle d’enroulement en radians sur la plus petite poulie ; pour une courroie ouverte, θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) avec l’entraxe C.

Trains épicycloïdaux : les vitesses du planétaire, de la couronne et du porte-satellites sont liées par la formule de Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s : vu du porte-satellites, le train est un train ordinaire dont les satellites sont des roues intermédiaires. Bloquer un élément transforme le train en réducteur à rapport unique.

Transformée de Laplace : F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt transforme les dérivées en multiplications par s : ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Couples usuels : 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), et un décalage s → s + σ multiplie la fonction du temps par e^−σt. Pour inverser une F(s) rationnelle, décomposez-la en éléments simples : le résidu d’un pôle simple p est A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Théorème de la valeur finale : f(∞) = lim_s→0 s·F(s), valable seulement si tous les pôles de s·F(s) sont dans le demi-plan gauche. Théorème de la valeur initiale : f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Transformée de Laplace : F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt transforme les dérivées en multiplications par s : ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Couples usuels : 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), et un décalage s → s + σ multiplie la fonction du temps par e^−σt. Pour inverser une F(s) rationnelle, décomposez-la en éléments simples : le résidu d’un pôle simple p est A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Théorème de la valeur finale : f(∞) = lim_s→0 s·F(s), valable seulement si tous les pôles de s·F(s) sont dans le demi-plan gauche. Théorème de la valeur initiale : f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Algèbre des schémas fonctionnels : les blocs en série se multiplient (G₁·G₂), les blocs en parallèle s’additionnent (G₁ + G₂), et une boucle avec chaîne directe G et chaîne de retour H se réduit à T = G/(1 + G·H) pour une rétroaction négative et G/(1 − G·H) pour une rétroaction positive. Réduisez d’abord les boucles intérieures, puis progressez vers l’extérieur. Les pôles en boucle fermée sont les racines de l’équation caractéristique 1 + G(s)H(s) = 0. Pour une boucle stable, une entrée en échelon d’amplitude A donne la sortie en régime permanent A·T(0) ; avec un retour unitaire, l’erreur statique à un échelon est A/(1 + K_p) avec K_p = G(0).

Algèbre des schémas fonctionnels : les blocs en série se multiplient (G₁·G₂), les blocs en parallèle s’additionnent (G₁ + G₂), et une boucle avec chaîne directe G et chaîne de retour H se réduit à T = G/(1 + G·H) pour une rétroaction négative et G/(1 − G·H) pour une rétroaction positive. Réduisez d’abord les boucles intérieures, puis progressez vers l’extérieur. Les pôles en boucle fermée sont les racines de l’équation caractéristique 1 + G(s)H(s) = 0. Pour une boucle stable, une entrée en échelon d’amplitude A donne la sortie en régime permanent A·T(0) ; avec un retour unitaire, l’erreur statique à un échelon est A/(1 + K_p) avec K_p = G(0).

Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jω_d avec ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, temps du premier pic t_p = π/ω_d, et temps de réponse à 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).

Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jω_d avec ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, temps du premier pic t_p = π/ω_d, et temps de réponse à 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).

Erreur en régime permanent : dans une boucle à retour unitaire de fonction de transfert en boucle ouverte G(s), l’erreur est E(s) = R(s)/(1 + G(s)), et d’après le théorème de la valeur finale e_ss = lim_s→0 s·E(s). La classe du système est le nombre de pôles de G(s) en s = 0. Les constantes d’erreur sont K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) et K_a = lim s²·G(s), toutes pour s → 0. Un échelon d’amplitude A donne e_ss = A/(1 + K_p), une rampe A·t donne A/K_v et une parabole A·t²/2 donne A/K_a. Une boucle de classe 0 suit un échelon avec une erreur finie ; une boucle de classe 1 le suit exactement et suit une rampe avec une erreur finie.

Commande P, PI et PID : le régulateur C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s agit sur l’erreur. Un gain proportionnel rend la boucle plus rapide et réduit l’erreur d’un procédé de classe 0, mais ne la supprime jamais. Le terme intégral ajoute un pôle en s = 0 : la classe du système augmente d’une unité, et un échelon est suivi sans erreur. Le terme dérivé ajoute de l’amortissement. Pour choisir les gains, écrivez le polynôme caractéristique en boucle fermée et comparez-le à s² + 2ζω_ns + ω_n². On a alors %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d avec ω_d = ω_n√(1 − ζ²), et t_s ≈ 4/(ζω_n).