Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 75 mm à 25 mm. Dans la partie large, la pression vaut 210 kPa et la vitesse 1,25 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 210 kPav1 = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un venturimètre horizontal (entrée 150 mm, col 75 mm) est parcouru par de l’eau. Un manomètre différentiel en U à mercure relié entre l’entrée et le col indique une dénivellation de 260 mm. Le coefficient de débit vaut 0,96. Trouvez le débit Q. Prenez ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau, 13 600 kg/m³ pour le mercure et g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 260 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 1,1 m/s dans une conduite horizontale de 300 m de long et de diamètre intérieur 200 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,018 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 1,1 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 150 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,018. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 2) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 25 L/s ?
Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 66 m tandis que son arbre absorbe 54 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 50 L/sH = 66 mPshaft = 54 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 75 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 23 m plus haut. La conduite mesure 200 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 6 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 85 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 75 L/sΔz = 23 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 85%
Pshaft = kW
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 40,47 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN
Réponse
F = 40,47 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,333 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·1,5 = 33,11 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,25 + 0,2813/(2,25·1,5) = 2,333 m
Réponse
ycp = 2,333 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 147,5 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(75/25)² = 11,25 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 210 + (−62,5) = 147,5 kPa
Réponse
p2 = 147,5 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 35,12 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Différence de pression d’après le manomètre
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,26 = 32138 Pa
Vitesse au col
La continuité et Bernoulli donnent ensemble la vitesse idéale au col.
β = 75/150 = 0,5
v2 = √(2·32138/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,28 m/s
Débit réel
Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,004418·8,28 = 0,03512 m³/s = 35,12 L/s
Réponse
Q = 35,12 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 16,33 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,2)·1,1²/(2·9,81) = 1,665 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,665 = 16335 Pa = 16,33 kPa
Réponse
Δp = 16,33 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 2,928 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Perte de charge totale
hf = 24·0,102 = 2,448 m
hm = 4,7·0,102 = 0,4794 m
Δz = hf + hm = 2,928 m
Réponse
Δz = 2,928 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 59,95 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·66 = 32,37 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 32,37/54 = 59,95%
Réponse
η = 59,95%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 26,45 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,2905 = 7,553 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 23 + 7,553 = 30,55 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·30,55/0,85 = 26,45 kW
Réponse
Pshaft = 26,45 kW
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