Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de glycérine, avec son bord supérieur à 0,5 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuité et BernoulliMoyen
L’eau circule dans une conduite horizontale qui se rétrécit de 150 mm à 40 mm. Dans la partie large, la pression vaut 180 kPa et la vitesse 0,5 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 dans la partie étroite.
d1 = 150 mmd2 = 40 mmp1 = 180 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuité et BernoulliDifficile
L’eau monte dans une conduite qui se rétrécit de 150 mm à 75 mm en s’élevant de 8 m. En section 1, la pression vaut 250 kPa et la vitesse 3 m/s. En négligeant les pertes, trouvez la pression p2 en section 2.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 250 kPav1 = 3 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau (ρ = 1000 kg/m³) s’écoule à 2,4 m/s dans une conduite horizontale de 100 m de long et de diamètre intérieur 250 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la chute de pression Δp le long de la conduite, en kPa.
V = 2,4 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Une conduite de 100 m de long et de diamètre intérieur 200 mm (coefficient de frottement de Darcy f = 0,02) part d’un réservoir à l’air libre et débouche à l’air libre en jet. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 4 coudes (K = 0,3 chacun) et une vanne (K = 0,2). Prenez g = 9,81 m/s². De combien H la surface du réservoir doit-elle être au-dessus de la sortie de la conduite pour un débit de 40 L/s ?
Q = 40 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2
H = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Une pompe de rendement 85 % débite 50 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 76 m. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft nécessaire, en kW.
Q = 50 L/sH = 76 mη = 85%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 20 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 32 m plus haut. La conduite mesure 100 m de long, a un diamètre intérieur de 100 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 8 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le réservoir supérieur est fermé et l’air au-dessus de l’eau est à une pression relative de 200 kPa. Trouvez la hauteur manométrique H que doit fournir la pompe.
Q = 20 L/sΔz = 32 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 397,3 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·9 = 397,3 kN
Réponse
F = 397,3 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 148,3 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2·6 = 148,3 kN
Réponse
F = 148,3 kN
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 155,4 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/40)² = 7,031 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 7,031²)/1000 = −24,59 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−24,59) = 155,4 kPa
Réponse
p2 = 155,4 kPa
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: p2 = 104 kPa
Continuité et Bernoulli : pour un fluide incompressible, le débit est le même dans toutes les sections, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Le long d’une ligne de courant sans pertes, p + ½ρv² + ρgz est constant, donc là où le fluide va plus vite ou plus haut, sa pression est plus faible.
Continuité et Bernoulli
Travaillez en Pa, puis divisez par 1000 pour obtenir des kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/75)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 250 + (−67,5) − 78,48 = 104 kPa
Réponse
p2 = 104 kPa
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δp = 28,8 kPa
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Perte de charge
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,25)·2,4²/(2·9,81) = 2,936 m
Chute de pression
La conduite est horizontale et la vitesse ne change pas ; l’équation de l’énergie se réduit donc à Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,936 = 28800 Pa = 28,8 kPa
Réponse
Δp = 28,8 kPa
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: H = 1,066 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9
Équation de l’énergie
Le jet de sortie emporte encore sa hauteur cinétique ; ce n’est pas une perte, mais elle doit être fournie.
H = (1 + 10 + 1,9)·0,08263 = 1,066 m
Réponse
H = 1,066 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 43,86 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·76 = 37,28 kW
Puissance sur l’arbre
Pshaft = Ph/η = 37,28/0,85 = 43,86 kW
Réponse
Pshaft = 43,86 kW
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: H = 63,29 m
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,3305 = 10,91 m
Hauteur de pression
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Hauteur manométrique de la pompe
Les deux surfaces sont pratiquement au repos ; il n’y a donc pas de terme de hauteur cinétique.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 32 + 20,39 + 10,91 = 63,29 m
Réponse
H = 63,29 m
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