Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
Mécanique des fluides : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Continuité et Bernoulli
- Continuité
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Débit
- Q = A·v
- Aire du disque
- A = πd²/4
Frottement en conduite et pertes de charge
- Nombre de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régime d’écoulement
- laminaire en dessous de Re ≈ 2000, turbulent au-dessus de Re ≈ 4000
- Vitesse moyenne
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pertes de charge singulières
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valeurs typiques de K
- entrée 0,5, sortie 1,0, coude à 90° ≈ 0,3
- Chute de pression
- Δp = ρ·g·hf
- Deux réservoirs à l’air libre
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sortie libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompes et puissance de pompage
- Puissance hydraulique
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Puissance sur l’arbre
- Pshaft = Ph/ηpump
- Puissance électrique
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Hauteur manométrique de la pompe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pertes du réseau
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercices
1.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 3 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 1,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuité et BernoulliMoyen
De l’eau s’écoule d’un grand réservoir ouvert par un orifice à arête vive de 25 mm de diamètre. Le niveau d’eau est maintenu à 6 m au-dessus de l’orifice et le coefficient de débit vaut 0,61. Trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².
d = 25 mmh = 6 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuité et BernoulliDifficile
Un réservoir d’eau fermé contient de l’air comprimé au-dessus de l’eau à une pression relative de 130 kPa. L’eau sort à l’air libre par un orifice de 20 mm de diamètre, situé 5 m sous la surface de l’eau. En négligeant les pertes, trouvez le débit Q. Prenez g = 9,81 m/s².
pair = 130 kPa (relative)h = 5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Frottement en conduite et pertes de chargeMoyen
De l’eau s’écoule avec un débit de 200 L/s dans une conduite de 200 m de long et de diamètre intérieur 300 mm. Prenez le coefficient de frottement de Darcy f = 0,025 et g = 9,81 m/s². Trouvez la perte de charge par frottement hf.
Q = 200 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Frottement en conduite et pertes de chargeDifficile
Deux réservoirs à l’air libre sont reliés par une conduite de 200 m de long, de diamètre intérieur 200 mm et de coefficient de frottement de Darcy f = 0,015. Les pertes de charge singulières sont dues à une entrée à arête vive (K = 0,5), 2 coudes (K = 0,3 chacun), une vanne (K = 10) et la sortie dans le réservoir inférieur (K = 1,0). Prenez g = 9,81 m/s². Quelle différence de niveau d’eau Δz entre les réservoirs donne un débit de 40 L/s ?
Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompes et puissance de pompageMoyen
Lors d’un essai, une pompe débite 25 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) sous une hauteur manométrique de 48 m tandis que son arbre absorbe 16,4 kW. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez le rendement de la pompe η en pourcentage.
Q = 25 L/sH = 48 mPshaft = 16,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompes et puissance de pompageDifficile
Une pompe refoule 80 L/s d’eau (ρ = 1000 kg/m³) d’un réservoir inférieur à l’air libre vers un réservoir supérieur dont la surface libre est 10 m plus haut. La conduite mesure 150 m de long, a un diamètre intérieur de 200 mm et un coefficient de frottement de Darcy f = 0,02 ; les coefficients de pertes singulières totalisent ΣK = 5 (entrée et sortie comprises). Prenez g = 9,81 m/s². Le rendement de la pompe est de 80 %. Trouvez la puissance sur l’arbre Pshaft en kW.
Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5η = 80%
Pshaft = kW
3Solutions
1.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 103 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN
Réponse
F = 103 kN
2.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 2,042 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0,08333/(2·1) = 2,042 m
Réponse
ycp = 2,042 m
3.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 3,249 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Vitesse idéale du jet
√(2gh) = √(2·9,81·6) = 10,85 m/s
Débit réel
Le coefficient de débit tient compte de la contraction du jet et du frottement sur l’arête.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,0004909·10,85 = 0,003249 m³/s = 3,249 L/s
Réponse
Q = 3,249 L/s
4.Continuité et Bernoulli
Réponse: Q = 5,945 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli de la surface au jet
v = √(2·(130000/1000 + 9,81·5)) = 18,92 m/s
Débit
Q = A·v = 0,0003142·18,92 = 0,005945 m³/s = 5,945 L/s
Réponse
Q = 5,945 L/s
5.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: hf = 6,801 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse moyenne
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
Hauteur cinétique
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,3)·2,829²/(2·9,81) = 6,801 m
Réponse
hf = 6,801 m
6.Frottement en conduite et pertes de charge
Réponse: Δz = 2,239 m
Écoulement en conduite : le nombre de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue l’écoulement laminaire (Re inférieur à environ 2000) de l’écoulement turbulent (au-dessus d’environ 4000). Le frottement le long d’une conduite provoque la perte de charge de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Les raccords, les vannes, l’entrée et la sortie ajoutent des pertes de charge singulières hm = ΣK·V²/(2g). Entre les surfaces libres de deux réservoirs, l’équation de l’énergie donne Δz = hf + hm, perte de sortie K = 1 comprise.
Vitesse
V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m
Coefficients de perte de charge
f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Perte de charge totale
hf = 15·0,08263 = 1,239 m
hm = 12,1·0,08263 = 0,9998 m
Δz = hf + hm = 2,239 m
Réponse
Δz = 2,239 m
7.Pompes et puissance de pompage
Réponse: η = 71,78 %
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Puissance hydraulique
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·48 = 11,77 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 11,77/16,4 = 71,78%
Réponse
η = 71,78%
8.Pompes et puissance de pompage
Réponse: Pshaft = 16,29 kW
Puissance d’une pompe : la puissance transmise à l’eau est la puissance hydraulique Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’arbre doit fournir davantage, car la pompe a des pertes : Pshaft = Ph/ηpump, et le moteur absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La hauteur manométrique H découle de l’équation de l’énergie : hauteur géométrique + hauteur de pression + toutes les pertes de charge par frottement et singulières.
Vitesse
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Pertes de charge
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,3305 = 6,61 m
Hauteur manométrique de la pompe
H = Δz + hL = 10 + 6,61 = 16,61 m
Puissance sur l’arbre
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·16,61/0,8 = 16,29 kW
Réponse
Pshaft = 16,29 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics