Contrainte effective dans les sols
- Contrainte totale
- σ = Σγi·hi
- Pression interstitielle
- u = γw·(z − zw)
- Contrainte effective
- σ′ = σ − u
- Eau
- γw = 9,81 kN/m³
Géotechnique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Tassement de consolidation
- Normalement consolidé
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Contrainte finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Surconsolidé, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Surconsolidé, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Rapport de surconsolidation
- OCR = σ′p/σ′0
- Temps de consolidation
- t = Tv·Hdr²/cv
- Chemin de drainage
- Hdr = H/2 (double drainage), H (drainage simple)
- Facteurs temps
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
2Exercices
1.Contrainte effective dans les solsMoyen
Pour le profil de sol représenté, trouvez la contrainte effective verticale σ′ au point X.
z = 5 mzw = 3 mγw = 9,81 kN/m³sable: γd = 17 kN/m³sable: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
2.Contrainte effective dans les solsDifficile
Pour le profil de sol représenté, trouvez la contrainte effective verticale σ′ au point X.
z = 6 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sable: γd = 15,5 kN/m³sable: γsat = 20,5 kN/m³argile: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
3.Tassement de consolidationMoyen
Une couche d’argile surconsolidée de 5 m d’épaisseur a Cc = 0,5, Cr = 0,04 et e₀ = 0,75. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 100 kPa et la pression de préconsolidation vaut 220 kPa. Un nouveau bâtiment ajoute 220 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.
H = 5 mCc = 0,5Cr = 0,04e0 = 0,75σ′0 = 100 kPaσ′p = 220 kPaΔσ = 220 kPa
S = mm
4.Tassement de consolidationDifficile
Une couche d’argile de 2 m d’épaisseur a un coefficient de consolidation cv = 3 m²/an. Elle repose sur une roche imperméable, avec du sable au-dessus ; l’eau ne s’évacue donc que par le haut. Pour un degré de consolidation moyen de 90 %, le facteur temps vaut Tv = 0,848. Combien d’années t faut-il à la couche pour atteindre 90 % de consolidation ?
H = 2 mcv = 3 m²/annéeU = 90%Tv = 0,848drainage simple
t = ans
5.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 1,5 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 2 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 2 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau de mer, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Solutions
1.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ′ = 69,38 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·3 + 19·2 = 89 kPa
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·2 = 19,62 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 89 − 19,62 = 69,38 kPa
Réponse
σ′ = 69,38 kPa
2.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ′ = 66,76 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·2
σ = 15,5·2 + 20,5·2 + 17·2 = 106 kPa
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·4 = 39,24 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 106 − 39,24 = 66,76 kPa
Réponse
σ′ = 66,76 kPa
3.Tassement de consolidation
Réponse: S = 271,6 mm
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Comparer avec la pression de préconsolidation
σ′f = 100 + 220 = 320 kPa > 220 kPa
Tassement
Recompression jusqu’à σ′p, compression vierge au-delà.
S = 0,04·5/(1 + 0,75)·log₁₀(220/100) + 0,5·5/(1 + 0,75)·log₁₀(320/220)
S = 39,13 + 232,5 = 271,6 mm
Réponse
S = 271,6 mm
4.Tassement de consolidation
Réponse: t = 1,131 ans
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Chemin de drainage
Hdr = H = 2 m
Durée
t = Tv·Hdr²/cv = 0,848·2²/3 = 1,131 ans
Réponse
t = 1,131 ans
5.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 119,6 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN
Réponse
F = 119,6 kN
6.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 3,595 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,5·4 = 140,8 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 1,333/(3,5·4) = 3,595 m
Réponse
ycp = 3,595 m
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