Contrainte effective dans les sols
- Contrainte totale
- σ = Σγi·hi
- Pression interstitielle
- u = γw·(z − zw)
- Contrainte effective
- σ′ = σ − u
- Eau
- γw = 9,81 kN/m³
Géotechnique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Tassement de consolidation
- Normalement consolidé
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Contrainte finale
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- Surconsolidé, σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- Surconsolidé, σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- Rapport de surconsolidation
- OCR = σ′p/σ′0
- Temps de consolidation
- t = Tv·Hdr²/cv
- Chemin de drainage
- Hdr = H/2 (double drainage), H (drainage simple)
- Facteurs temps
- U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848
Poussée hydrostatique
- Pression à une profondeur
- p = ρgh
- Force sur une paroi verticale
- F = ρg·hc·A
- Centre de poussée
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectangle
- Ic = bH³/12
2Exercices
1.Contrainte effective dans les solsMoyen
Pour le profil de sol représenté, trouvez la contrainte effective verticale σ′ au point X.
z = 9 mzw = 1 mγw = 9,81 kN/m³sable: γd = 17 kN/m³sable: γsat = 18,5 kN/m³
σ′ = kPa
2.Contrainte effective dans les solsDifficile
Pour le profil de sol représenté, trouvez la contrainte effective verticale σ′ au point X.
z = 6,5 mzw = 2 mγw = 9,81 kN/m³sable: γd = 15 kN/m³sable: γsat = 20 kN/m³argile: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
3.Tassement de consolidationMoyen
Une couche d’argile surconsolidée de 7,5 m d’épaisseur a Cc = 0,45, Cr = 0,03 et e₀ = 0,65. À mi-épaisseur, la contrainte verticale effective vaut 85 kPa et le rapport de surconsolidation vaut OCR = 3. Un nouveau bâtiment ajoute 100 kPa de contrainte verticale à mi-épaisseur. Trouvez le tassement de consolidation primaire S en mm.
H = 7,5 mCc = 0,45Cr = 0,03e0 = 0,65σ′0 = 85 kPaOCR = 3Δσ = 100 kPa
S = mm
4.Tassement de consolidationDifficile
Lors d’un essai œdométrique en laboratoire, une éprouvette d’argile de 25 mm d’épaisseur, drainée en haut et en bas, atteint 50 % de consolidation en 15 min. Sur le terrain, la même argile forme une couche de 8 m d’épaisseur. Elle repose sur une roche imperméable, avec du sable au-dessus ; l’eau ne s’évacue donc que par le haut. Combien de jours t faut-il à la couche en place pour atteindre 50 % de consolidation ?
hlab = 25 mmtlab = 15 minH = 8 mterrain : drainage simple
t = jours
5.Poussée hydrostatiqueMoyen
Une vanne rectangulaire verticale de 3 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de eau, avec son bord supérieur à 4 m sous la surface. Trouvez la force hydrostatique résultante F sur la vanne.
d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
6.Poussée hydrostatiqueDifficile
Une vanne rectangulaire verticale de 1 m de large est placée dans la paroi d’un réservoir de huile, avec son bord supérieur à 2,5 m sous la surface. Trouvez la profondeur ycp du centre de poussée sous la surface.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3Solutions
1.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ′ = 86,52 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·1 + 18,5·8 = 165 kPa
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·8 = 78,48 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 165 − 78,48 = 86,52 kPa
Réponse
σ′ = 86,52 kPa
2.Contrainte effective dans les sols
Réponse: σ′ = 72,35 kPa
Contrainte effective (Terzaghi) : le squelette du sol porte σ′ = σ − u. La contrainte totale σ est le poids de tout ce qui se trouve au-dessus du point, Σγ·h, avec le poids volumique sec au-dessus de la nappe et le poids volumique saturé en dessous. Sous la nappe, la pression interstitielle est hydrostatique : u = γw·(profondeur sous la nappe).
Contrainte totale
Additionnez le poids de chaque couche de sol au-dessus de X. Au-dessus de la nappe, prenez le poids volumique sec ; en dessous, le saturé.
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3,5
σ = 15·2 + 20·1 + 19·3,5 = 116,5 kPa
Pression interstitielle
La pression de l’eau croît avec la profondeur sous la nappe.
u = γw·(z − zw) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa
Contrainte effective
σ′ = σ − u = 116,5 − 44,15 = 72,35 kPa
Réponse
σ′ = 72,35 kPa
3.Tassement de consolidation
Réponse: S = 46,06 mm
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Pression de préconsolidation
σ′p = OCR·σ′0 = 3·85 = 255 kPa
Comparer avec la pression de préconsolidation
σ′f = 85 + 100 = 185 kPa ≤ 255 kPa
Tassement
L’argile reste sur sa droite de recompression.
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0,03·7,5/(1 + 0,65)·log₁₀(185/85) = 46,06 mm
Réponse
S = 46,06 mm
4.Tassement de consolidation
Réponse: t = 4267 jours
Consolidation primaire d’une couche d’argile d’épaisseur H, avec la contrainte effective au milieu de la couche : σ′f = σ′0 + Δσ. Argile normalement consolidée : S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Une argile surconsolidée se recomprime selon Cr jusqu’à la pression de préconsolidation σ′p et ne suit Cc qu’au-delà. Temps : t = Tv·Hdr²/cv, où le chemin de drainage Hdr vaut H/2 lorsque l’eau peut s’évacuer en haut et en bas, et H lorsqu’une seule face est drainante.
Chemins de drainage
Hdr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m
Hdr,field = 8 m
Mettre le temps à l’échelle
t = Tv·Hdr²/cv avec les mêmes T_v et cv au laboratoire et sur le terrain.
tfield = 15·(8/0,0125)² = 6,144 × 10⁶ min
tfield = 6,144 × 10⁶/1440 = 4267 jours
Réponse
t = 4267 jours
5.Poussée hydrostatique
Réponse: F = 209,7 kN
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN
Réponse
F = 209,7 kN
6.Poussée hydrostatique
Réponse: ycp = 4,188 m
Force hydrostatique sur une surface plane : F = ρ·g·yc·A. Elle agit au centre de poussée, ycp = yc + Ic/(ycA), toujours situé sous le centre de gravité.
Profondeur du centre de gravité et aire
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Force résultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN
Centre de poussée
La pression augmente avec la profondeur, donc la résultante agit sous le centre de gravité.
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 2,25/(4·3) = 4,188 m
Réponse
ycp = 4,188 m
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