Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Polystyrène expansé, k = 0,035200 mmLaine minérale, k = 0,04150 mm25 °C-7 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 200 mm de polystyrène expansé et de 150 mm de laine minérale, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et -7 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 25 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,035250 mmBrique, k = 0,72100 mmpièce 20 °Cextérieur -4 °CQ̇

Un mur de 250 mm de polystyrène expansé et 100 mm de brique sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -4 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT130 °C25 °C75 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 130 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 25 à 75 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 130 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 75 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT120 °C75 °C?20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 120 à 75 °C. L’eau (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 25 mm, et U = 150 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 120 → 75 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 67,62 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·20) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·20) = 0,1875 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,4732 = 67,62 W

Réponse

Q̇ = 67,62 W
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,1337 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·10) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,7482 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,7482) = 0,1337 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,1337 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 1,351 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 0,5·4,18·(75 − 25) = 104,5 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = 130 − 75 = 55 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 55)/ln(105/55) = 77,32 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 104500/(1000·77,32) = 1,351 m²

Réponse

A = 1,351 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 24,17 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 0,2·2,3·(120 − 75) = 20,7 kW
Tc,out = 20 + 20,7/(0,8·4,18) = 26,19 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 26,19 = 93,81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (93,81 − 55)/ln(93,81/55) = 72,69 K

Surface et longueur

A = 20700/(150·72,69) = 1,899 m²
L = A/(πD) = 1,899/(π·0,025) = 24,17 m

Réponse

L = 24,17 m

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