Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de laine minérale et de 75 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 18 °C et 6 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 18 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de béton et 50 mm de polystyrène expansé sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -1 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 120 kW. Le fluide chaud se refroidit de 130 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 60 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 120 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 130 → 85 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 180 à 115 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 15 °C. Avec U = 200 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 180 → 115 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 6,973 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,3627 = 33,08 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 33,08·0,3333 = 6,973 °C
Réponse
Ti = 6,973 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,5483 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·10) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·10) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1824 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,1824) = 0,5483 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,5483 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 9,646 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 60 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 55)/ln(70/55) = 62,2 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(200·62,2) = 9,646 m²
Réponse
A = 9,646 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 15,27 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·65 = 325 kW
Tc,out = 15 + 325/(1,5·4,18) = 66,83 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 66,83 = 113,2 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 15 = 100 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (113,2 − 100)/ln(113,2/100) = 106,4 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 325000/(200·106,4) = 15,27 m²
Réponse
A = 15,27 m²
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