Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de brique et de 150 mm de laine minérale, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 16 °C et -6 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 16 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 200 mm de laine minérale et 75 mm de béton sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -2 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -2 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 240 kW. Le fluide chaud se refroidit de 105 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 90 °C. Le coefficient global d’échange vaut 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 240 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 105 → 85 °CTc: 25 → 90 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 140 à 110 °C. L’eau (0,3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 10 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 40 mm, et U = 500 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 140 → 110 °Cṁc = 0,3 kg/sTc,in = 10 °CD = 40 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 14,48 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·8) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·8) = 0,4688 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,5035 = 43,7 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 43,7·0,03472 = 14,48 °C
Réponse
Ti = 14,48 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 84,34 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·20) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·20) = 0,002679 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,2608 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (-2))/0,2608 = 84,34 W
Réponse
Q̇ = 84,34 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 14,79 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 90 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 60)/ln(15/60) = 32,46 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(500·32,46) = 14,79 m²
Réponse
A = 14,79 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 2,195 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,2·2,5·(140 − 110) = 15 kW
Tc,out = 10 + 15/(0,3·4,18) = 21,96 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 21,96 = 118 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 10 = 100 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (118 − 100)/ln(118/100) = 108,8 K
Surface et longueur
A = 15000/(500·108,8) = 0,2758 m²
L = A/(πD) = 0,2758/(π·0,04) = 2,195 m
Réponse
L = 2,195 m
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