Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de béton et de 100 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et -5 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de verre et 75 mm de brique sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -3 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 8 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 105 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 20 à 90 °C. Le coefficient global d’échange vaut 3000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Ts = 105 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 90 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à co-courant, de l’huile chaude (0,2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 155 à 65 °C. L’eau (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 15 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 40 mm, et U = 300 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 155 → 65 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 15 °CD = 40 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 157,7 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,1649 = 157,7 W
Réponse
Q̇ = 157,7 W
2.Conduction thermique
Réponse: U = 2,449 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·8) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·8) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,05104 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,05104) = 2,449 W/(m²·K)
Réponse
U = 2,449 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 12,08 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance thermique côté eau
Q̇ = 5·4,18·(90 − 20) = 1463 kW
Écarts de température aux extrémités
ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 90 = 15 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 15)/ln(85/15) = 40,36 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,463 × 10⁶/(3000·40,36) = 12,08 m²
Réponse
A = 12,08 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 13,31 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,2·2,3·(155 − 65) = 41,4 kW
Tc,out = 15 + 41,4/(1,5·4,18) = 21,6 °C
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 155 − 15 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 21,6 = 43,4 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 43,4)/ln(140/43,4) = 82,48 K
Surface et longueur
A = 41400/(300·82,48) = 1,673 m²
L = A/(πD) = 1,673/(π·0,04) = 13,31 m
Réponse
L = 13,31 m
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