Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Laine minérale, k = 0,04250 mmBois, k = 0,1725 mm21 °C-5 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 250 mm de laine minérale et de 25 mm de bois, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et -5 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Polystyrène expansé, k = 0,03550 mmPlaque de plâtre, k = 0,17150 mmpièce 22 °Cextérieur 0 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 50 mm de polystyrène expansé et 150 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 0 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT130 °C65 °C30 °C15 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 390 kW. Le fluide chaud se refroidit de 130 à 65 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 30 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,92, et U = 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 390 kWF = 0,92U = 1000 W/(m²·K)Th: 130 → 65 °CTc: 15 → 30 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT120 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 120 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 8 m² et U = 3000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 25 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 120 °CA = 8 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 48,77 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·12) = 0,5208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,5331 = 48,77 W

Réponse

Q̇ = 48,77 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 20,89 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·15) = 0,09524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,1646 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (0))/0,1646 = 133,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 133,6·0,008333 = 20,89 °C

Réponse

Ts = 20,89 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 5,877 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités (contre-courant)

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 50)/ln(100/50) = 72,13 K

Surface

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 390000/(1000·0,92·72,13) = 5,877 m²

Réponse

A = 5,877 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 114,6 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·8/(2·4180) = 2,871

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,871 = 95·0,05665 = 5,382 K
Tc,out = 120 − 5,382 = 114,6 °C

Réponse

Tc,out = 114,6 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 749,2 kW.

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