Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de plaque de plâtre et de 50 mm de verre, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et 1 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 20 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de polystyrène expansé et 25 mm de laine minérale sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 1 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à co-courant transfère 20 kW. Le fluide chaud se refroidit de 110 à 70 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 25 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 20 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 110 → 70 °CTc: 10 → 25 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) se refroidit de 115 à 85 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 3 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 30 °C. Avec U = 500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 85 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 1,805 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·8) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,1536 = 123,7 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 123,7·0,1471 = 1,805 °C
Réponse
Ti = 1,805 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 19,83 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·12) = 0,119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·12) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,1853 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (21 − (1))/0,1853 = 107,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 107,9·0,01082 = 19,83 °C
Réponse
Ts = 19,83 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,452 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 25 = 45 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 45)/ln(100/45) = 68,88 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 20000/(200·68,88) = 1,452 m²
Réponse
A = 1,452 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 3,909 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·30 = 126 kW
Tc,out = 30 + 126/(3·4,18) = 40,05 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 40,05 = 74,95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (74,95 − 55)/ln(74,95/55) = 64,46 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 126000/(500·64,46) = 3,909 m²
Réponse
A = 3,909 m²
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