Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de bois et de 75 mm de brique, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 16 °C et -2 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 16 °CT3 = -2 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 150 mm de brique et 75 mm de verre sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -6 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à co-courant transfère 180 kW. Le fluide chaud se refroidit de 125 à 90 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 70 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 180 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 125 → 90 °CTc: 15 → 70 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 160 à 45 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 0,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 160 → 45 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = −0,5359 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·20) = 0,005208 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,06403 = 281,1 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 281,1·0,05882 = −0,5359 °C
Réponse
Ti = −0,5359 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 854,6 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·15) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·15) = 0,005208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,03042 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (20 − (-6))/0,03042 = 854,6 W
Réponse
Q̇ = 854,6 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 17,05 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 15 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 90 − 70 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 20)/ln(110/20) = 52,79 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 180000/(200·52,79) = 17,05 m²
Réponse
A = 17,05 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 10,85 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·115 = 143,8 kW
Tc,out = 20 + 143,8/(0,5·4,18) = 88,78 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 88,78 = 71,22 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 20 = 25 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (71,22 − 25)/ln(71,22/25) = 44,15 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 143750/(300·44,15) = 10,85 m²
Réponse
A = 10,85 m²
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