Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de béton et de 25 mm de laine minérale, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 24 °C et -9 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 24 °CT3 = -9 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de bois et 100 mm de laine minérale sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -1 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -1 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 90 kW. Le fluide chaud se refroidit de 125 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 50 °C. Le coefficient global d’échange vaut 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 90 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 125 → 85 °CTc: 20 → 50 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) se refroidit de 145 à 80 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 3 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 25 °C. Avec U = 200 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 145 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 257,9 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·6) = 0,1042 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 33/0,128 = 257,9 W
Réponse
Q̇ = 257,9 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 66,77 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,3295 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (21 − (-1))/0,3295 = 66,77 W
Réponse
Q̇ = 66,77 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 2,576 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 50 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 20 = 65 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 65)/ln(75/65) = 69,88 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(500·69,88) = 2,576 m²
Réponse
A = 2,576 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 8,64 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·65 = 136,5 kW
Tc,out = 25 + 136,5/(3·4,18) = 35,89 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 35,89 = 109,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (109,1 − 55)/ln(109,1/55) = 78,99 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 136500/(200·78,99) = 8,64 m²
Réponse
A = 8,64 m²
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