Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de bois et de 75 mm de brique, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 17 °C et 0 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 150 mm de polystyrène expansé et 150 mm de laine minérale sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à 0 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 0 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à co-courant transfère 80 kW. Le fluide chaud se refroidit de 165 à 95 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 20 °C. Le coefficient global d’échange vaut 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 80 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 165 → 95 °CTc: 10 → 20 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 100 à 70 °C. L’eau (0,3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 15 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 40 mm, et U = 200 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 70 °Cṁc = 0,3 kg/sTc,in = 15 °CD = 40 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 147,3 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·6) = 0,01736 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,1154 = 147,3 W
Réponse
Q̇ = 147,3 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 30,73 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,6834 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (21 − (0))/0,6834 = 30,73 W
Réponse
Q̇ = 30,73 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 2,42 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 20 = 75 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 75)/ln(155/75) = 110,2 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 80000/(300·110,2) = 2,42 m²
Réponse
A = 2,42 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 12,1 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,3·2,1·(100 − 70) = 18,9 kW
Tc,out = 15 + 18,9/(0,3·4,18) = 30,07 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 30,07 = 69,93 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (69,93 − 55)/ln(69,93/55) = 62,17 K
Surface et longueur
A = 18900/(200·62,17) = 1,52 m²
L = A/(πD) = 1,52/(π·0,04) = 12,1 m
Réponse
L = 12,1 m
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