Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Béton, k = 1,4100 mmLaine minérale, k = 0,0475 mm25 °C-3 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 100 mm de béton et de 75 mm de laine minérale, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et -3 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 25 °CT3 = -3 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Verre, k = 0,96250 mmBrique, k = 0,7250 mmpièce 22 °Cextérieur -6 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 250 mm de verre et 50 mm de brique sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -6 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT140 °C20 °C70 °CΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

Dans un condenseur, de la vapeur se condense à une température constante de 140 °C à l’extérieur des tubes. L’eau de refroidissement (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circule dans les tubes et se réchauffe de 20 à 70 °C. Le coefficient global d’échange vaut 2500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Ts = 140 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 70 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT115 °C60 °C62,89 °C30 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

De l’huile chaude (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 115 à 60 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 30 °C. Avec U = 1000 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 115,1 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·8) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·8) = 0,2344 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,2433 = 115,1 W

Réponse

Q̇ = 115,1 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 16,16 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·12) = 0,0217 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·12) = 0,005787 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,03999 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (-6))/0,03999 = 700,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 700,2·0,008333 = 16,16 °C

Réponse

Ts = 16,16 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 0,9012 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance thermique côté eau

Q̇ = 1·4,18·(70 − 20) = 209 kW

Écarts de température aux extrémités

ΔT₁ = 140 − 20 = 120 K
ΔT₂ = 140 − 70 = 70 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 70)/ln(120/70) = 92,76 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 209000/(2500·92,76) = 0,9012 m²

Réponse

A = 0,9012 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 5,151 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·55 = 206,3 kW
Tc,out = 30 + 206,3/(1,5·4,18) = 62,89 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 62,89 = 52,11 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (52,11 − 30)/ln(52,11/30) = 40,04 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 206250/(1000·40,04) = 5,151 m²

Réponse

A = 5,151 m²

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