Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Polystyrène expansé, k = 0,035150 mmBéton, k = 1,475 mm19 °C-11 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 150 mm de polystyrène expansé et de 75 mm de béton, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 19 °C et -11 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Bois, k = 0,17150 mmPolystyrène expansé, k = 0,035150 mmpièce 22 °Cextérieur -14 °CQ̇

Un mur de 150 mm de bois et 150 mm de polystyrène expansé sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -14 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT125 °C100 °C65 °C20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur de chaleur à contre-courant transfère 440 kW. Sa surface d’échange est de 4 m². Le fluide chaud se refroidit de 125 à 100 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 65 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 440 kWA = 4 m²Th: 125 → 100 °CTc: 20 → 65 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT120 °C30 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 120 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 4 m² et U = 1000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 30 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 120 °CA = 4 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = −10,63 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·6) = 0,008929 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,7232 = 41,48 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 41,48·0,7143 = −10,63 °C

Réponse

Ti = −10,63 °C
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,1876 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,5331 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,5331) = 0,1876 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,1876 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 1582 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 65 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 20 = 80 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 80)/ln(60/80) = 69,52 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 440000/(4·69,52) = 1582 W/(m²·K)

Réponse

U = 1582 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 64,22 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·4/(2·4180) = 0,4785

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 90·0,6197 = 55,78 K
Tc,out = 120 − 55,78 = 64,22 °C

Réponse

Tc,out = 64,22 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 286,1 kW.

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