Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Plaque de plâtre, k = 0,17150 mmBois, k = 0,17150 mm21 °C5 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 150 mm de plaque de plâtre et de 150 mm de bois, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 21 °C et 5 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 21 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Bois, k = 0,17250 mmVerre, k = 0,96100 mmpièce 21 °Cextérieur -4 °CQ̇

Un mur de 250 mm de bois et 100 mm de verre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -4 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT85 °C45 °C70 °C15 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à contre-courant transfère 490 kW. Le fluide chaud se refroidit de 85 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 15 à 70 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 490 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 85 → 45 °CTc: 15 → 70 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT120 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 120 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 4 m² et U = 1000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 10 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 120 °CA = 4 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = 13 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,08824 = 181,3 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 181,3·0,04412 = 13 °C

Réponse

Ti = 13 °C
2.Conduction thermique

Réponse: U = 0,5699 W/(m²·K)

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,4387 K/W

Coefficient global

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,4387) = 0,5699 W/(m²·K)

Réponse

U = 0,5699 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 113,2 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 70 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 30)/ln(15/30) = 21,64 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 490000/(200·21,64) = 113,2 m²

Réponse

A = 113,2 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 61,88 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·4/(1,5·4180) = 0,638

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,638 = 110·0,5284 = 58,12 K
Tc,out = 120 − 58,12 = 61,88 °C

Réponse

Tc,out = 61,88 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 325,3 kW.

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