Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de béton et de 50 mm de bois, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 24 °C et -3 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 24 °CT3 = -3 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de verre et 50 mm de brique sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -4 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -4 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 40 kW. Le fluide chaud se refroidit de 105 à 30 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 45 °C. Le coefficient global d’échange vaut 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 40 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 105 → 30 °CTc: 10 → 45 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à co-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 130 à 85 °C. L’eau (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 25 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 25 mm, et U = 500 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 130 → 85 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 25 °CD = 25 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 926,8 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·15) = 0,009524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,02913 = 926,8 W
Réponse
Q̇ = 926,8 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 981,4 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·20) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·20) = 0,003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,02649 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-4))/0,02649 = 981,4 W
Réponse
Q̇ = 981,4 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 2,197 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 45 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 20)/ln(60/20) = 36,41 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 40000/(500·36,41) = 2,197 m²
Réponse
A = 2,197 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 14,68 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,3·2,3·(130 − 85) = 31,05 kW
Tc,out = 25 + 31,05/(0,2·4,18) = 62,14 °C
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 62,14 = 22,86 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 22,86)/ln(105/22,86) = 53,88 K
Surface et longueur
A = 31050/(500·53,88) = 1,153 m²
L = A/(πD) = 1,153/(π·0,025) = 14,68 m
Réponse
L = 14,68 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer