Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Polystyrène expansé, k = 0,035150 mmBrique, k = 0,7250 mm25 °C-6 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 150 mm de polystyrène expansé et de 50 mm de brique, avec une surface de 10 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et -6 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 25 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Bois, k = 0,17100 mmBrique, k = 0,7275 mmpièce 20 °Cextérieur -13 °CQ̇ = ?

Un mur de 100 mm de bois et 75 mm de brique sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à -13 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -13 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT155 °C75 °C50 °C10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur de chaleur à contre-courant transfère 380 kW. Sa surface d’échange est de 3 m². Le fluide chaud se refroidit de 155 à 75 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 50 °C. Trouvez le coefficient global d’échange U.

Q̇ = 380 kWA = 3 m²Th: 155 → 75 °CTc: 10 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT105 °C50 °C?10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 105 à 50 °C. L’eau (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 10 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 20 mm, et U = 300 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 105 → 50 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 20 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 71,18 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,4355 = 71,18 W

Réponse

Q̇ = 71,18 W
2.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 220,2 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·6) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,1498 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (20 − (-13))/0,1498 = 220,2 W

Réponse

Q̇ = 220,2 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: U = 1519 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 50 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 10 = 65 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 65)/ln(105/65) = 83,41 K

Coefficient global

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 380000/(3·83,41) = 1519 W/(m²·K)

Réponse

U = 1519 W/(m²·K)
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 39,23 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 0,3·2,5·(105 − 50) = 41,25 kW
Tc,out = 10 + 41,25/(0,5·4,18) = 29,74 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 29,74 = 75,26 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75,26 − 40)/ln(75,26/40) = 55,79 K

Surface et longueur

A = 41250/(300·55,79) = 2,465 m²
L = A/(πD) = 2,465/(π·0,02) = 39,23 m

Réponse

L = 39,23 m

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