Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 200 mm de brique et de 75 mm de bois, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 18 °C et 4 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de polystyrène expansé et 100 mm de bois sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -2 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 210 kW. Le fluide chaud se refroidit de 130 à 55 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 60 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,85, et U = 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 210 kWF = 0,85U = 500 W/(m²·K)Th: 130 → 55 °CTc: 25 → 60 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 140 à 60 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 2 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 15 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 140 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 12,59 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·12) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,05991 = 233,7 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 233,7·0,02315 = 12,59 °C
Réponse
Ti = 12,59 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 20,57 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,109 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-2))/0,109 = 220,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 220,2·0,006494 = 20,57 °C
Réponse
Ts = 20,57 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 10,47 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 60 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 30)/ln(70/30) = 47,21 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 210000/(500·0,85·47,21) = 10,47 m²
Réponse
A = 10,47 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 20,03 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·80 = 368 kW
Tc,out = 15 + 368/(2·4,18) = 59,02 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 59,02 = 80,98 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80,98 − 45)/ln(80,98/45) = 61,24 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 368000/(300·61,24) = 20,03 m²
Réponse
A = 20,03 m²
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