Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de polystyrène expansé et de 75 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 23 °C et -13 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = -13 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 150 mm de polystyrène expansé et 25 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -6 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à co-courant transfère 390 kW. Le fluide chaud se refroidit de 130 à 70 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 50 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 390 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 130 → 70 °CTc: 30 → 50 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) se refroidit de 150 à 115 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 20 °C. Avec U = 1500 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 115 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = −9,64 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·4) = 1,071 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 36/1,182 = 30,46 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 30,46·1,071 = −9,64 °C
Réponse
Ti = −9,64 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 21,21 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·20) = 0,2143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·20) = 0,007353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,2306 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-6))/0,2306 = 121,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 121,4·0,006494 = 21,21 °C
Réponse
Ts = 21,21 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 7,846 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À co-courant, les deux entrées sont du même côté, et les deux sorties de l’autre.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 50 = 20 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 20)/ln(100/20) = 49,71 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(1000·49,71) = 7,846 m²
Réponse
A = 7,846 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 0,7841 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·35 = 120,7 kW
Tc,out = 20 + 120,7/(1,5·4,18) = 39,26 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 39,26 = 110,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 20 = 95 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110,7 − 95)/ln(110,7/95) = 102,7 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120750/(1500·102,7) = 0,7841 m²
Réponse
A = 0,7841 m²
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