Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Bois, k = 0,17150 mmPlaque de plâtre, k = 0,1725 mm20 °C-1 °CQ̇ = ?

Un mur est composé de 150 mm de bois et de 25 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 4 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et -1 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Verre, k = 0,96150 mmBrique, k = 0,7275 mmpièce 22 °Cextérieur 0 °CTs​ = ?Q̇

Un mur de 150 mm de verre et 75 mm de brique sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 0 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 6 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT110 °C45 °C100 °C10 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à contre-courant transfère 390 kW. Le fluide chaud se refroidit de 110 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 100 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 390 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 110 → 45 °CTc: 10 → 100 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT105 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂vapeur en condensation

De la vapeur se condense à une température constante de 105 °C à l’extérieur des tubes d’un condenseur de surface d’échange 1 m² et U = 3000 W/(m²·K). L’eau de refroidissement (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entre dans les tubes à 15 °C. Trouvez la température de sortie de l’eau Tc,out.

Ts = 105 °CA = 1 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 81,6 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·4) = 0,03676 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,2574 = 81,6 W

Réponse

Q̇ = 81,6 W
2.Conduction thermique

Réponse: Ts = 15,51 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·6) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,07338 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (0))/0,07338 = 299,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 299,8·0,02165 = 15,51 °C

Réponse

Ts = 15,51 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 13,03 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 100 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 35)/ln(10/35) = 19,96 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(1500·19,96) = 13,03 m²

Réponse

A = 13,03 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: Tc,out = 83,58 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combiner le bilan d’énergie et l’équation de transfert

Avec ΔT₁ = Ts − Tc,in et ΔT₂ = Ts − Tc,out, la différence ΔT₁ − ΔT₂ est égale à l’élévation de température de l’eau, donc celle-ci se simplifie.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1/(0,5·4180) = 1,435

Température de sortie

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,435 = 90·0,238 = 21,42 K
Tc,out = 105 − 21,42 = 83,58 °C

Réponse

Tc,out = 83,58 °C

Chaleur transférée : Q̇ = 143,3 kW.

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