Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de verre et de 150 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 6 m². Les faces extérieures sont à 23 °C et -10 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 250 mm de béton et 150 mm de bois sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -13 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 12 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 60 kW. Le fluide chaud se refroidit de 100 à 75 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 50 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,88, et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 60 kWF = 0,88U = 300 W/(m²·K)Th: 100 → 75 °CTc: 10 → 50 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 0,5 kW/K. Le fluide chaud entre à 85 °C et le fluide froid à 25 °C. L’échangeur a A = 4 m² et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 85 °CTc,in = 25 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 18,04 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 33/0,1731 = 190,6 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 190,6·0,02604 = 18,04 °C
Réponse
Ti = 18,04 °C
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 338,5 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·12) = 0,01488 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1034 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-13))/0,1034 = 338,5 W
Réponse
Q̇ = 338,5 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 3,975 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 50 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 10 = 65 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 65)/ln(50/65) = 57,17 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 60000/(300·0,88·57,17) = 3,975 m²
Réponse
A = 3,975 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 42,65 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
0,5·(85 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 25)
Th,out = (0,5·85 + 1,2·25)/(0,5 + 1,2) = 42,65 °C
Réponse
Th,out = 42,65 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 21,18 kW ; le fluide froid sort à 67,35 °C.
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