Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de brique et de 75 mm de béton, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 23 °C et 9 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 23 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de laine minérale et 75 mm de bois sépare une pièce à 20 °C de l’air extérieur à 4 °C. Les coefficients de convection valent 6 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 15 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 30 kW. Le fluide chaud se refroidit de 150 à 85 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 105 °C. Le coefficient global d’échange vaut 500 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 30 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 150 → 85 °CTc: 25 → 105 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,3 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 90 à 55 °C. L’eau (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 15 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 50 mm, et U = 150 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 55 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 1366 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·12) = 0,005787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·12) = 0,004464 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,01025 = 1366 W
Réponse
Q̇ = 1366 W
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,3177 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,2099 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,2099) = 0,3177 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3177 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 1,151 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 105 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 60)/ln(45/60) = 52,14 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 30000/(500·52,14) = 1,151 m²
Réponse
A = 1,151 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 17,49 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,3·2,1·(90 − 55) = 22,05 kW
Tc,out = 15 + 22,05/(1·4,18) = 20,28 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 20,28 = 69,72 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (69,72 − 40)/ln(69,72/40) = 53,49 K
Surface et longueur
A = 22050/(150·53,49) = 2,748 m²
L = A/(πD) = 2,748/(π·0,05) = 17,49 m
Réponse
L = 17,49 m
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