Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 50 mm de béton et de 150 mm de brique, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 24 °C et 4 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de bois et 75 mm de polystyrène expansé sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à 1 °C. Les coefficients de convection valent 8 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 550 kW. Le fluide chaud se refroidit de 165 à 105 °C et le fluide froid se réchauffe de 30 à 120 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,9, et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 550 kWF = 0,9U = 300 W/(m²·K)Th: 165 → 105 °CTc: 30 → 120 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 2 kW/K. Le fluide chaud entre à 180 °C et le fluide froid à 10 °C. L’échangeur a A = 1 m² et U = 800 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 180 °CTc,in = 10 °CA = 1 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 21,07 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·12) = 0,002976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,02034 = 983,4 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 983,4·0,002976 = 21,07 °C
Réponse
Ti = 21,07 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,3461 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·20) = 0,1071 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1445 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,1445) = 0,3461 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,3461 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 34,69 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 120 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 30 = 75 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 75)/ln(45/75) = 58,73 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 550000/(300·0,9·58,73) = 34,69 m²
Réponse
A = 34,69 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 131,4 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
2·(180 − Th,out) = 0,8·(Th,out − 10)
Th,out = (2·180 + 0,8·10)/(2 + 0,8) = 131,4 °C
Réponse
Th,out = 131,4 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 97,14 kW ; le fluide froid sort à 58,57 °C.
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