Transferts thermiques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Conduction thermique

Loi de Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Résistance de conduction
R = L/(kA)
Résistance de convection
R = 1/(hA)
Résistances en série
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Coefficient U
U = 1/(ΣR·A)

Échangeurs de chaleur (DTLM)

Puissance échangée
Q = U·A·ΔTlm
Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilan d’un fluide
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Exercices

1.Conduction thermiqueMoyen
Bois, k = 0,17200 mmPolystyrène expansé, k = 0,035150 mm19 °C-11 °CTi​ = ?Q̇

Un mur est composé de 200 mm de bois et de 150 mm de polystyrène expansé, avec une surface de 20 m². Les faces extérieures sont à 19 °C et -11 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Verre, k = 0,9650 mmBrique, k = 0,7250 mmpièce 22 °Cextérieur -9 °CQ̇ = ?

Un mur de 50 mm de verre et 50 mm de brique sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -9 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -9 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
longueurT140 °C60 °C45 °C20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Un échangeur à contre-courant transfère 150 kW. Le fluide chaud se refroidit de 140 à 60 °C et le fluide froid se réchauffe de 20 à 45 °C. Le coefficient global d’échange vaut 1000 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.

Q̇ = 150 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 140 → 60 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
longueurT135 °C85 °C?20 °CΔT₁ΔT₂contre-courant

Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,8 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 135 à 85 °C. L’eau (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 20 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 40 mm, et U = 300 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 135 → 85 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 40 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3Solutions

1.Conduction thermique

Réponse: Ti = 12,54 °C

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances des couches

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·20) = 0,2143 K/W

Flux de chaleur

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,2731 = 109,8 W

Température à l’interface

La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 109,8·0,05882 = 12,54 °C

Réponse

Ti = 12,54 °C
2.Conduction thermique

Réponse: Q̇ = 435,5 W

Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.

Résistances en série

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·4) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·4) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,07118 K/W

Perte de chaleur

Q̇ = (22 − (-9))/0,07118 = 435,5 W

Réponse

Q̇ = 435,5 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: A = 2,359 m²

Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 45 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 40)/ln(95/40) = 63,58 K

Surface

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(1000·63,58) = 2,359 m²

Réponse

A = 2,359 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)

Réponse: L = 31,93 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Puissance échangée et température de sortie de l’eau

Q̇ = 0,8·2,1·(135 − 85) = 84 kW
Tc,out = 20 + 84/(0,5·4,18) = 60,19 °C

Écarts de température aux extrémités

À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 60,19 = 74,81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 20 = 65 K

Écart de température moyen logarithmique

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (74,81 − 65)/ln(74,81/65) = 69,79 K

Surface et longueur

A = 84000/(300·69,79) = 4,012 m²
L = A/(πD) = 4,012/(π·0,04) = 31,93 m

Réponse

L = 31,93 m

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