Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 150 mm de bois et de 75 mm de plaque de plâtre, avec une surface de 12 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et -4 °C. Trouvez la température Ti à l’interface entre les deux couches.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 150 mm de béton et 150 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -8 °C. Les coefficients de convection valent 7,7 W/(m²·K) à l’intérieur et 20 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 20 m². Trouvez le coefficient de transmission thermique global U du mur.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 440 kW. Le fluide chaud se refroidit de 115 à 45 °C et le fluide froid se réchauffe de 10 à 70 °C. Le coefficient global d’échange vaut 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 440 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 115 → 45 °CTc: 10 → 70 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur à tubes concentriques à contre-courant, de l’huile chaude (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) circule dans le tube intérieur et se refroidit de 160 à 75 °C. L’eau (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) circulant dans l’espace annulaire entre à 15 °C. Le tube intérieur a un diamètre de 25 mm, et U = 400 W/(m²·K) est rapporté à ce diamètre. Trouvez la longueur de tube L nécessaire.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 160 → 75 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 15 °CD = 25 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Ti = 4 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,1103 = 217,6 W
Température à l’interface
La température baisse de Q̇·R₁ dans la première couche.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 217,6·0,07353 = 4 °C
Réponse
Ti = 4 °C
2.Conduction thermique
Réponse: U = 0,8552 W/(m²·K)
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·20) = 0,005357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,05847 K/W
Coefficient global
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,05847) = 0,8552 W/(m²·K)
Réponse
U = 0,8552 W/(m²·K)
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 36,86 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 70 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 35)/ln(45/35) = 39,79 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(300·39,79) = 36,86 m²
Réponse
A = 36,86 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: L = 37,68 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = 0,5·2,5·(160 − 75) = 106,3 kW
Tc,out = 15 + 106,3/(1,5·4,18) = 31,95 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 31,95 = 128,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 15 = 60 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (128,1 − 60)/ln(128,1/60) = 89,77 K
Surface et longueur
A = 106250/(400·89,77) = 2,959 m²
L = A/(πD) = 2,959/(π·0,025) = 37,68 m
Réponse
L = 37,68 m
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