Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 100 mm de laine minérale et de 25 mm de brique, avec une surface de 15 m². Les faces extérieures sont à 20 °C et 5 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 20 °CT3 = 5 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 50 mm de brique et 150 mm de polystyrène expansé sépare une pièce à 21 °C de l’air extérieur à -3 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 30 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 10 m². Trouvez la perte de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à faisceau tubulaire et calandre (une passe côté calandre, deux passes côté tubes) doit transférer 350 kW. Le fluide chaud se refroidit de 125 à 60 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 65 °C. Le facteur de correction de la DTLM pour cette configuration vaut F = 0,9, et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 350 kWF = 0,9U = 300 W/(m²·K)Th: 125 → 60 °CTc: 25 → 65 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
De l’huile chaude (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) se refroidit de 175 à 110 °C dans un échangeur à contre-courant. Elle réchauffe 1,5 kg/s d’eau (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) qui entre à 10 °C. Avec U = 300 W/(m²·K), trouvez la surface d’échange A nécessaire.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 175 → 110 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 88,77 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·15) = 0,002315 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,169 = 88,77 W
Réponse
Q̇ = 88,77 W
2.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 53,47 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4488 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (21 − (-3))/0,4488 = 53,47 W
Réponse
Q̇ = 53,47 W
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 27,95 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écarts de température aux extrémités (contre-courant)
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 65 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 35)/ln(60/35) = 46,38 K
Surface
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 350000/(300·0,9·46,38) = 27,95 m²
Réponse
A = 27,95 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 7,219 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Puissance échangée et température de sortie de l’eau
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·65 = 243,8 kW
Tc,out = 10 + 243,8/(1,5·4,18) = 48,88 °C
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 48,88 = 126,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 10 = 100 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (126,1 − 100)/ln(126,1/100) = 112,6 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 243750/(300·112,6) = 7,219 m²
Réponse
A = 7,219 m²
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