Conduction thermique
- Loi de Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Résistance de conduction
- R = L/(kA)
- Résistance de convection
- R = 1/(hA)
- Résistances en série
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Coefficient U
- U = 1/(ΣR·A)
Transferts thermiques : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Échangeurs de chaleur (DTLM)
- Puissance échangée
- Q = U·A·ΔTlm
- Différence de température logarithmique moyenne (DTLM)
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilan d’un fluide
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Exercices
1.Conduction thermiqueMoyen
Un mur est composé de 250 mm de polystyrène expansé et de 25 mm de verre, avec une surface de 8 m². Les faces extérieures sont à 25 °C et -6 °C. Trouvez le flux de chaleur Q̇ à travers le mur.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 25 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.Conduction thermiqueDifficile
Un mur de 100 mm de verre et 25 mm de plaque de plâtre sépare une pièce à 22 °C de l’air extérieur à -11 °C. Les coefficients de convection valent 10 W/(m²·K) à l’intérieur et 25 W/(m²·K) à l’extérieur, et la surface du mur est de 4 m². Trouvez la température Ts de la face intérieure du mur.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)Moyen
Un échangeur à contre-courant transfère 290 kW. Le fluide chaud se refroidit de 115 à 100 °C et le fluide froid se réchauffe de 25 à 80 °C. Le coefficient global d’échange vaut 200 W/(m²·K). Trouvez la surface d’échange A nécessaire.
Q̇ = 290 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 115 → 100 °CTc: 25 → 80 °C
A = m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)Difficile
Dans un échangeur de chaleur à contre-courant, les deux fluides ont le même débit de capacité thermique, ṁ·cp = 4 kW/K. Le fluide chaud entre à 170 °C et le fluide froid à 25 °C. L’échangeur a A = 5 m² et U = 300 W/(m²·K). Trouvez la température de sortie du fluide chaud Th,out.
Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 170 °CTc,in = 25 °CA = 5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Solutions
1.Conduction thermique
Réponse: Q̇ = 34,59 W
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances des couches
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·8) = 0,8929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·8) = 0,003255 K/W
Flux de chaleur
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,8961 = 34,59 W
Réponse
Q̇ = 34,59 W
2.Conduction thermique
Réponse: Ts = 13,56 °C
Résistance thermique : un flux de chaleur stationnaire à travers des couches en série se comporte comme un courant dans des résistances en série : Q̇ = ΔT/ΣR, avec R = L/(kA) pour une couche conductrice et R = 1/(hA) pour une surface avec convection. La chute de température dans chaque couche est proportionnelle à sa résistance.
Résistances en série
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·4) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,09781 K/W
Perte de chaleur
Q̇ = (22 − (-11))/0,09781 = 337,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 337,4·0,025 = 13,56 °C
Réponse
Ts = 13,56 °C
3.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: A = 27,63 m²
Méthode DTLM : l’écart de température entre les fluides varie le long de l’échangeur, donc l’équation utilise sa moyenne logarithmique : Q̇ = U·A·ΔTlm, avec ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), où ΔT₁ et ΔT₂ sont les écarts aux deux extrémités. Le contre-courant donne un ΔTlm plus grand que le co-courant pour les mêmes températures d’entrée et de sortie.
Écarts de température aux extrémités
À contre-courant, l’entrée chaude fait face à la sortie froide, et la sortie chaude à l’entrée froide.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 80 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 25 = 75 K
Écart de température moyen logarithmique
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 75)/ln(35/75) = 52,48 K
Surface
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 290000/(200·52,48) = 27,63 m²
Réponse
A = 27,63 m²
4.Échangeurs de chaleur (DTLM)
Réponse: Th,out = 130,5 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Écart de température constant
La sortie froide se trouve face à l’entrée chaude : Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), donc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilan d’énergie égal à l’équation de transfert
4·(170 − Th,out) = 1,5·(Th,out − 25)
Th,out = (4·170 + 1,5·25)/(4 + 1,5) = 130,5 °C
Réponse
Th,out = 130,5 °C
Chaleur transférée : Q̇ = 158,2 kW ; le fluide froid sort à 64,55 °C.
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